Câu 1:
a/ ĐKXĐ: [tex]0\leq x\leq 7[/tex]
Phương trình đã cho $\Leftrightarrow 7-x+2\sqrt{x}-2\sqrt{7-x}-\sqrt{x}.\sqrt{7-x}=0$
$\Leftrightarrow (7-x-\sqrt{x}.\sqrt{7-x})-(2\sqrt{7-x}-2\sqrt{x})=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{7-x}(\sqrt{7-x}-\sqrt{x})-2(\sqrt{7-x}-\sqrt{x})=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}-\sqrt{x})=0$
+)TH1: [tex]\sqrt{7-x}-2=0\Leftrightarrow \sqrt{7-x}=2\Leftrightarrow 7-x=4\Leftrightarrow x=3(t/m)[/tex]
+)Th2: [tex]\sqrt{7-x}-\sqrt{x}=0\Leftrightarrow \sqrt{7-x}=\sqrt{x}\Rightarrow 7-x=x\Leftrightarrow x=3,5(t/m)[/tex]
Vậy S={3;3,5}
b/ ĐKXĐ: mọi x,y thuộc R
Có [tex]x^{2}\neq 2018+x^{2}\Rightarrow x\neq \sqrt{2018+x^{2}}\Rightarrow x-\sqrt{2018+x^{2}}\neq 0[/tex]
$(x+\sqrt{2018+x^{2}})(y+\sqrt{2018}+y^{2})=2018$
$\Leftrightarrow (x-\sqrt{2018+x^{2}})(x+\sqrt{2018+x^{2}})(y+\sqrt{2018}+y^{2})=2018(x-\sqrt{2018+x^{2}})$
$\Leftrightarrow -2018(y+\sqrt{2018+y^{2}})=2018(x-\sqrt{2018+x^{2}})$
$\Leftrightarrow y+\sqrt{2018+y^{2}}=\sqrt{2018+x^{2}}-x$ (1)
Tương tự: $x+\sqrt{2018+x^{2}}=\sqrt{2018+y^{2}}-y$ (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) được:
[tex]y+\sqrt{2018+y^{2}}+x+\sqrt{2018+x^{2}}=\sqrt{2018+x^{2}}-x+\sqrt{2018+y^{2}}-y \Leftrightarrow x+y=-x-y\Leftrightarrow x+y=0[/tex]
Ta có: [tex](x^{2019}+y^{2019})\vdots (x+y)[/tex]
mà [tex]x+y=0\Rightarrow x^{2019}+y^{2019}=0[/tex]
Suy ra $Q=2020$
Vậy $Q=2020$
Câu 3:
a/ Xét bài toán phụ: với [tex]n\in \mathbb{N}^{*}[/tex] ta luôn có [tex]\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]
Thật vậy: [tex]\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}[/tex]
Áp dụng bài toán phụ trên ta được:
[tex]P=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2024}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}=\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}=\frac{44}{45}[/tex]
b/ $x^{2}+y^{2}=3(x+y)$ (*)
$\Leftrightarrow x^{2}-3x+(y^{2}-3y)=0$ (**)
[tex]\Delta _{x}=(-3)^{2}-4.(y^{2}-3y)=9-4y^{2}+12y[/tex]
Để phương trình đã cho (*) có nghiệm nguyên x;y <=> phương trình đã cho (**) có nghiệm x;y
[tex]\Leftrightarrow \Delta _{x}\geq 0\Leftrightarrow 9-4y^{2}+12y\geq 0\Leftrightarrow \frac{3-3\sqrt{2}}{2}\leq y\leq \frac{3+3\sqrt{2}}{2}[/tex]
Vì y nguyên nên [tex]y\in[/tex]{0;1;2;3}
Với y=0 thì (*) [tex]\Leftrightarrow x^{2}=3x\Leftrightarrow x(x-3)=0\Leftrightarrow x=0[/tex](loại vì x nguyên dương) hoặc x=3 (t/m)
Với y=1 thì [tex](*)\Leftrightarrow x^{2}+1=3(x+1)\Leftrightarrow x^{2}-3x-2=0[/tex] [tex]\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}[/tex] (loại vì x nguyên)
Với y=2 thì [tex](*)\Leftrightarrow x^{2}+2^{2}=3(x+2)\Leftrightarrow x^{2}-3x-2=0\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{2}[/tex] (loại vì x nguyên)
Với y=3 thì [tex](*)\Leftrightarrow x^{2}+3^{2}=3(x+3)\Leftrightarrow x^{2}-3x=0\Leftrightarrow x(x-3)=0\Leftrightarrow x=0[/tex](loại vì x nguyên dương) hoặc x=3 (t/m)
Vậy (x;y)=(3;0);(3;3)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
