Bài 1:
1) ĐKXĐ: mọi x thuộc R
Đặt [tex]\sqrt{x^{2}+5}=a(a\geq \sqrt{5})[/tex]
Khi đó, phương trình đã cho [tex]\Leftrightarrow a^{2}+2x+2=(x+3)a\Leftrightarrow (a-2)(a-x-1)=0[/tex]
TH1: [tex]a=2[/tex](loại)
TH2: [tex]a-x-1=0\Leftrightarrow a=x+1\Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+5}=x+1[/tex](ĐK: [tex]x\geq -1[/tex]) [tex]\Leftrightarrow x^{2}+5=x^{2}+2x+1\Leftrightarrow x=2(t/m)[/tex]
Vậy....
2) [tex]\left\{\begin{matrix} (x-y)(x^{2}-y^{2})=1(1)\\(x+y)(x^{2}+y^{2})=1 (2) \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]PT(2)-PT(1)\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}+y^{2})-(x-y)(x^{2}-y^{2})=0\Leftrightarrow 2xy^{2}+2yx^{2}=0\Leftrightarrow 2xy(x+y)=0[/tex]
TH1: x=0 thay vào (1) được [tex]-y.(-y^{2})=1\Leftrightarrow y^{3}=1\Leftrightarrow y=1[/tex]
TH2: y=0 thay vào (2) được [tex]x.x^{2}=1\Leftrightarrow x=1[/tex]
TH3: [tex]x+y=0[/tex] => hpt vô nghiệm vì $(x+y)(x^{2}+y^{2})=1$
Vậy (x;y)=(0;1);(1;0)
Bài 3:
1) $\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+z+1}$
$=\frac{1}{xy+x+1}+\frac{xyz}{yz+y+xyz}+\frac{xyz}{zx+z+xyz}$
$=\frac{1}{xy+x+1}+\frac{x}{1+\frac{1}{z}+x}+\frac{xy}{x+1+xy}$
$=\frac{1}{xy+x+1}+\frac{x}{1+xy+x}+\frac{xy}{x+1+xy}=1$
2) Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
$P^{2}\leq (1^{2}+1^{2}+1^{2})(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+z+1})$
$=3(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+x+1})$
$\leq 3.(\frac{yz}{xyz.y+xyz+yz}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{y}{xyz+yz+y})$
$\leq 3.(\frac{yz}{y+1+yz}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{y}{1+yz+y})=3$
$\Rightarrow P\leq \sqrt{3}$
Dấu "=" xảy ra [tex]x=y=z=1[/tex]
Bài 2:
1) [tex]4x^{2}+8xy+3y^{2}+2x+y+2=0\Leftrightarrow (2x+y)(2x+3y+1)=-2[/tex]
Vì x;y nguyên nên 2x+y và 2x+3y+1 là các số nguyên và là các ước của -2
Ta có bảng sau:
| 2x+y | 1 | 2 | -1 | -2 |
| 2x+3y+1 | -2 | -1 | 2 | 1 |
| x | 3/2 | 2 | -1 | -3/2 |
| y | -2 | -2 | 1 | 1 |
| Kết luận | loại | t/m | t/m | loại |
[TBODY]
[/TBODY]
Vậy...
2) $3a^{2}+a=4b^{2}-b$
$\Leftrightarrow 3a^{2}-3b^{2}+a+b=b^{2}$
$\Leftrightarrow 3(a+b)(a-b)+(a+b)=b^{2}$
$\Leftrightarrow (a+b)(3a+3b+1)=b^{2}$(*) là số chính phương vì b nguyên dương
Gọi d= ƯCLN(a+b;3a+3b+1)
[tex]\Rightarrow (a+b)\vdots d;(3a+3b+1)\vdots d[/tex]
[tex]\Rightarrow b^{2}=(a+b)(3a+3b+1)\vdots d^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow b\vdots d[/tex]
Lại có: [tex](3a+3b+1)-3(a+b)\vdots d[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 1\vdots d[/tex]
[tex]\Rightarrow d=1[/tex]
[tex]\Rightarrow a+b;3a+3b+1[/tex] là 2 số nguyên tố cùng nhau (**)
Từ (*) và (**) suy ra a+b là số chính phương
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
