Câu 1:
a) $P=\left ( \frac{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}} -\frac{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right ):\frac{4\sqrt{a^{4}-a^{2}b^{2}}}{b^{2}}$
$=\left [ \frac{(a+\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}-(a-\sqrt{a^{2}-b^{2}})^{2}}{(a-\sqrt{a^{2}-b^{2}})(a+\sqrt{a^{2}-b^{2}})} \right ]:\frac{4\sqrt{a^{2}(a^{2}-b^{2})}}{b^{2}}$
$=\left [ \frac{a^{2}+2a\sqrt{a^{2}-b^{2}}+(a^{2}-b^{2})-[a^{2}-2a\sqrt{a^{2}-b^{2}}+(a^{2}-b^{2})]}{a^{2}-(a^{2}-b^{2})} \right ].\frac{4\left | a \right |\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b^{2}}$
$=\frac{4a\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{b^{2}}.\frac{b^{2}}{4\left | a \right |\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$
$=\frac{a}{\left | a \right |}$
Với a<0 thì P=-1
Với a>0 thì P=1
b) Xét hpt $\left\{\begin{matrix} x_{1}-x_{2}=5\\x_{1}^{3}-x_{2}^{3}=35 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}-x_{2}=5\\ (x_{1}-x_{2})(x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})=35 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}-x_{2}=5\\ x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=7 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=5+x_{2}\\ (5+x_{2})^{2}+(5+x_{2})x_{2}+x_{2}^{2}=7 \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=5+x_{2}\\ 3(x_{2}+2)(x_{2}+3)=0 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=3\\x_{2}=-2 \end{matrix}\right.$
hoặc [tex]\left\{\begin{matrix} x_{1}=2\\x_{2}=-3 \end{matrix}\right.[/tex]
=> HPT có các nghiệm $(x_{1};x_{2})$ là (3;-2);(2;-3)
Vì pt (1) có các nghiệm $(x_{1};x_{2})$ nên với $(x_{1};x_{2})=(3;-2)$ thì
+) [tex]\left\{\begin{matrix} 3^{2}+3a+b=0\\ (-2)^{2}-2a+b=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+b=-9\\ b-2a=-4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-1\\ b=-6 \end{matrix}\right.[/tex]
Vì pt (1) có các nghiệm $(x_{1};x_{2})$ nên với $(x_{1};x_{2})=(2;-3)$ thì
+) [tex]\left\{\begin{matrix} 2^{2}+2a+b=0\\ (-3)^{2}-3a+b=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2a+b=-4\\ b-3a=-9 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=1\\ b=-6 \end{matrix}\right.[/tex]
Vậy...
Câu 2:
a, ĐKXĐ: [tex]x\geq \frac{-1}{3}[/tex]
PT đã cho $\Leftrightarrow 4\sqrt{x+3}+4\sqrt{3x+1}=4x+12$
$\Leftrightarrow (x+3-4\sqrt{x+3}+4)+(3x+1-4\sqrt{3x+1}+4)=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x+3}-2)^{2}+(\sqrt{3x+1}-2)^{2}=0$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+1}-2=0\\ \sqrt{x+3}-2=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt{3x+1}=2\\ \sqrt{x+3}=2 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+1=4\\ x+3=4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=1(t/m)$
Vậy...
b, +)Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$
Tương tự:...
Cộng 3 BĐT cùng chiều trên rồi chia cả 2 vế cho 2 ta được
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\Rightarrow P\geq 1$
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
+) Vì $0\leq a,b,c\leq 2$
$\Rightarrow (2-a)(2-b)(2-c)+abc\geq 0$
$\Leftrightarrow 8-4(a+b+c)-2(ab+bc+ca)\geq 0$
$\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)-4\geq 0$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca\geq 2$
Có $a+b+c=3$
$\Rightarrow (a+b+c)^{2}=9$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=9$
$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$
Khi đó:
$P=\frac{9-2(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}$
$=\frac{9}{ab+bc+ca}-2\leq \frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow (a;b;c)=(0;1;2)$ và các hoán vị
Câu 3:
Giả sử có các số nguyên tố x;y thỏa mãn pt [tex]x^{2}-2y^{2}=1[/tex]
[tex]\Rightarrow x^{2}-1=2y^{2}[/tex]
+) Nếu x chia hết cho 3 mà x lại là số nguyên tố nên x=3. Khi đó [tex]3^{2}-1=2y^{2}\Leftrightarrow y^{2}=4\Leftrightarrow y=2[/tex] ( vì y là số nguyên tố)
+) Nếu x không chia hết cho 3 thì x có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 ( [tex]k\in \mathbb{N}[/tex])
Với x=3k+1 thì [tex]x^{2}-1=9k^{2}+6k+1-1=9k^{2}+6k\Rightarrow (x^{2}-1)\vdots 3[/tex]
Với x=3k+2 thì [tex]x^{2}-1=9k^{2}+12k+4-1=9k^{2}+6k+3\Rightarrow (x^{2}-1)\vdots 3[/tex]
Suy ra với x không chia hết cho 3 thì [tex](x^{2}-1)\vdots 3[/tex]
Mà [tex]x^{2}-1=2y^{2}[/tex]
Nên [tex]2y^{2}\vdots 3\Rightarrow y^{2}\vdots 3[/tex] ( vì (2;3)=1 ) [tex]\Rightarrow y\vdots 3[/tex]
Mà y là số nguyên tố nên y=3
Khi đó [tex]x^{2}-1=2.3^{2}\Leftrightarrow x^{2}=19[/tex] [tex]x^{2}-1=2.3^{2}\Leftrightarrow x^{2}=19[/tex] ( loại vì x nguyên tố)
Vậy (x;y)=(3;2)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
