Toán 9 Đề thi toán chuyên 2015 - 2016 Hà Nội

[Nguyễn Bảo Thiên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm tất cả các số nguyên p và các số nguyên dương x, y thỏa mãn [tex]\left\{\begin{matrix} p-1=2x(x+2)\\ p^{2}-1=2y(y+2) \end{matrix}\right.[/tex]
2. Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn [tex]x^{3}+y^{3}+z^{3}=nx^{2}y^{2}z^{2}[/tex]
3. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: (a+b)(b+c)(c+a)=1. Chứng minh [tex]ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}[/tex]
4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, mội tiếp đường trong (O). Các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm H, Gọi Q là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (Q khác B, Q khác C). Gọi E, F theo thứ tự là điểm đối xứng của Q qua các đường thẳng AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng
b) Gọi J là giao điểm của QE và AB, I là giao điểm của QF và AC. Tìm vị trí của điểm Q trên cung nhỏ BC để [tex](\frac{AB}{QJ}+\frac{AC}{QI})[/tex] nhỏ nhất
5. Chứng minh tồn tại các số nguyên tố a, b, c sao cho [tex]0<|a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}|<\frac{1}{1000}[/tex]

 

[7 1 2 5]

1.Ta thấy p = 2 không thỏa mãn. Xét p > 2. [tex]\left\{\begin{matrix} p-1=2x(x+2)\\ p^{2}-1=2y(y+2) \end{matrix}\right.\Rightarrow p^2-p=2y(y+2)-2x(x+2)\Rightarrow p(p-1)=2(y-x)(y+x+2)\vdots p\Rightarrow (y-x)(y+x+2)\vdots p[/tex]
Từ giả thiết ta dễ thấy [tex]0< x< y< p-1[/tex]
Từ đó ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} 0< y-x< p\\ 0< y+x+2< 2p \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow y+x+2=p\Rightarrow y=p-2-x\Rightarrow p^2-1=2y(y+2)=2p^2-4p(x+1)+2x(x+2)=2p^2-4p(x+1)+p-1\Rightarrow p^2-4p(x+1)+p=0\Rightarrow p-4(x+1)+1=0\Rightarrow p=4(x+1)-1\Rightarrow p-1=4(x+1)-2=2x(x+2)\Rightarrow 4x+2=2x^2+4x\Rightarrow 2x^2=2\Rightarrow x=1\Rightarrow p=7\Rightarrow 2y^2+4y=48\Rightarrow y^2+2y-24=0\Rightarrow (y-4)(y+6)=0\Rightarrow y=4[/tex]

 

[7 1 2 5]

2. Không mất tính tổng quát giả sử [tex]x\geq y\geq z[/tex]. Với x = 1 ta có y = z = 1 và n = 3. Xét [TEX]x \geq 2[/TEX]Ta thấy [tex]y^3+z^3\vdots x^2\Rightarrow y^3+z^3\geq x^2 \Rightarrow 2y^3 \geq x^2[/tex]
Lại có: [tex]x^3+y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\Rightarrow \frac{y^3+z^3}{x^3}+1\geq \frac{y^2z^2}{x}\Rightarrow \frac{y^3+z^3}{x^2}\geq \frac{y^2z^2}{x}-1[/tex]
Mà [tex]z^3\leq y^3\leq x^3\Rightarrow \frac{y^3+z^3}{x^3}\leq 2\Rightarrow \frac{y^2z^2}{x}-1\leq 2\Rightarrow \frac{y^2z^2}{x}\leq 3\Rightarrow x\geq \frac{y^2z^2}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{y^4z^4}{9}\leq x^2\leq 2y^3\Rightarrow \frac{yz^4}{9}\leq 2\Rightarrow yz^4\leq 18\Rightarrow z^4\leq 18\Rightarrow z=1\Rightarrow \frac{y^2}{x}-1\leq \frac{y^3+1}{x^3}=\frac{1}{x^3}+\frac{y^3}{x^3}\leq 1+\frac{1}{x^3}\Rightarrow y^2\leq 2x+\frac{1}{x^2}\leq 2x+\frac{1}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow 2x\geq y^2-\frac{1}{4}[/tex]
Mà [tex]x,y\in \mathbb{N}\Rightarrow 2x\geq y^2\Rightarrow x\geq \frac{y^2}{2}\Rightarrow x^2\geq \frac{y^4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow 4x^2\geq y^4\Rightarrow (2x)^2\geq y^4\Rightarrow 2x\geq y^2\Rightarrow \sqrt{2x}\geq y\Rightarrow \sqrt{(2x)^3}\geq y^3[/tex]
Lại có: [tex]y^3+1\geq x^3\Rightarrow \sqrt{(2x)^2}+1\geq x^2\Rightarrow x\leq 2\Rightarrow x=8[/tex]
Với từng trường hợp của x ta sử dụng BĐT [tex]x\geq \frac{y^2}{2}[/tex] để tìm y và thử. Ta được n = 1 và n = 3.
3. Đặt [tex]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc\Rightarrow pq-r=1\Rightarrow r+1=pq[/tex]
Vì [tex]pq\geq 9r\Rightarrow 1+r\geq 9r\Rightarrow r\leq \frac{1}{8}\Rightarrow pq=1+r\leq \frac{9}{8}\Rightarrow q\leq \frac{9}{8p}\Rightarrow q^2\leq \frac{81}{64p^2}\leq \frac{81}{64.3q}\Rightarrow q^3\leq \frac{27}{64}\Rightarrow q\leq \frac{3}{4}(đpcm)[/tex]
Câu 5 sai đề.

 

[ankhongu]

2. Không mất tính tổng quát giả sử [tex]x\geq y\geq z[/tex]. Với x = 1 ta có y = z = 1 và n = 3. Xét [TEX]x \geq 2[/TEX]Ta thấy [tex]y^3+z^3\vdots x^2\Rightarrow y^3+z^3\geq x^2 \Rightarrow 2y^3 \geq x^2[/tex]
Lại có: [tex]x^3+y^3+z^3\geq x^2y^2z^2\Rightarrow \frac{y^3+z^3}{x^3}+1\geq \frac{y^2z^2}{x}\Rightarrow \frac{y^3+z^3}{x^2}\geq \frac{y^2z^2}{x}-1[/tex]
Mà [tex]z^3\leq y^3\leq x^3\Rightarrow \frac{y^3+z^3}{x^3}\leq 2\Rightarrow \frac{y^2z^2}{x}-1\leq 2\Rightarrow \frac{y^2z^2}{x}\leq 3\Rightarrow x\geq \frac{y^2z^2}{3}[/tex] [tex]\Rightarrow \frac{y^4z^4}{9}\leq x^2\leq 2y^3\Rightarrow \frac{yz^4}{9}\leq 2\Rightarrow yz^4\leq 18\Rightarrow z^4\leq 18\Rightarrow z=1\Rightarrow \frac{y^2}{x}-1\leq \frac{y^3+1}{x^3}=\frac{1}{x^3}+\frac{y^3}{x^3}\leq 1+\frac{1}{x^3}\Rightarrow y^2\leq 2x+\frac{1}{x^2}\leq 2x+\frac{1}{4}[/tex] [tex]\Rightarrow 2x\geq y^2-\frac{1}{4}[/tex]
Mà [tex]x,y\in \mathbb{N}\Rightarrow 2x\geq y^2\Rightarrow x\geq \frac{y^2}{2}\Rightarrow x^2\geq \frac{y^4}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow 4x^2\geq y^4\Rightarrow (2x)^2\geq y^4\Rightarrow 2x\geq y^2\Rightarrow \sqrt{2x}\geq y\Rightarrow \sqrt{(2x)^3}\geq y^3[/tex]
Lại có: [tex]y^3+1\geq x^3\Rightarrow \sqrt{(2x)^2}+1\geq x^2\Rightarrow x\leq 2\Rightarrow x=8[/tex]
Với từng trường hợp của x ta sử dụng BĐT [tex]x\geq \frac{y^2}{2}[/tex] để tìm y và thử. Ta được n = 1 và n = 3.
3. Đặt [tex]p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc\Rightarrow pq-r=1\Rightarrow r+1=pq[/tex]
Vì [tex]pq\geq 9r\Rightarrow 1+r\geq 9r\Rightarrow r\leq \frac{1}{8}\Rightarrow pq=1+r\leq \frac{9}{8}\Rightarrow q\leq \frac{9}{8p}\Rightarrow q^2\leq \frac{81}{64p^2}\leq \frac{81}{64.3q}\Rightarrow q^3\leq \frac{27}{64}\Rightarrow q\leq \frac{3}{4}(đpcm)[/tex]
Câu 5 sai đề.

Cho mình hỏi câu 5 nếu không cần a, b, c nguyên tố thì chứng minh thế nào vậy ?