Bài 5:
+) Áp dụng BĐT Bunyskovsky ta có:
[tex](1^{2}+1^{2}+1^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow 9\geq (a+b+c)^{2}\Rightarrow a+b+c\leq 3[/tex]
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
[tex]a^{2}+b^{2}\geq 2ab[/tex]
tương tự:..
Cộng 3 BĐT cùng chiều trên rồi chia cả hai vế cho 2 được [tex]3=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca[/tex]
Suy ra [tex]P\leq 3+3.3=12[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=>< a=b=c=1
+) Vì [tex]a;b;c\geq 0;a^{2}+b^{2}+c^{2}=3 \Rightarrow 0\leq a^{2}\leq 3\Leftrightarrow 0\leq a\leq \sqrt{3}\Rightarrow a(a-\sqrt{3})\leq 0\Leftrightarrow a\sqrt{3}\geq a^{2}[/tex]
Chứng minh tương tự:...
Cộng 3 BĐT cùng chiều trên ta được [tex]\sqrt{3}(a+b+c)\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}=3\Leftrightarrow a+b+c\geq \sqrt{3}[/tex]
Ta có [tex](a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=3+2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}[/tex]
Khi đó: [tex]P=\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}+3(a+b+c)\geq \frac{(\sqrt{3})^{2}-3}{2}+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}[/tex] [tex]P=\frac{(a+b+c)^{2}-3}{2}+3(a+b+c)\geq \frac{(\sqrt{3})^{2}-3}{2}+3\sqrt{3}=3\sqrt{3}[/tex]
Dấu "=" xảy ra <=> [tex](a;b;c)=(0;0;\sqrt{3})[/tex] [tex](a;b;c)=(0;0;\sqrt{3})[/tex] và các hoán vị
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
