Đề Thi thử Toán chuyên Nguyễn Huệ đợt II

[myn_suju_exo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: chứng minh rằng

[TEX]\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2014^2}<\frac{2}{3}[/TEX]


Bài 2: Cho a, b, c là các số thực không âm, không vượt quá 4 thỏa mãn a+b+c=6. Tìm GTNN và GTLN của [TEX]a^4+b^4+c^4+24(1 - a)( 1 - b)(1 - c)[/TEX]



Bài 3: Giải HPT [TEX]x^3-2y^3=x+4y[/TEX]
// [TEX]13x^2 - 41xy + 21y^2 = -9[/TEX]



Cảm ơn mọi người nhiều nhiều :-*

 

[letsmile519]

b1:

Với mọi $k$\geq $1$ , ta có:

$\frac{1}{k^2}=\frac{4}{4k^2}$<$\frac{4}{4k^{2}-1}$
$=2.( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} )$

Với $k=2;3;..;2014$

$\frac{1}{2^{2}}<\frac{2}{3}-\frac{2}{5}$
$\frac{1}{3^{2}}<\frac{2}{5}-\frac{2}{7}$
$.....$
$\frac{1}{2014^{2}}<\frac{2}{4027}-\frac{2}{4029}$

\Rightarrow $\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2014^{2}}< \frac{2}{3}-\frac{2}{4029}$<$\frac{2}{3}$

 

[letsmile519]

Bài 1:

Bài 2: Cho a, b, c là các số thực không âm, không vượt quá 4 thỏa mãn a+b+c=6. Tìm GTNN và GTLN của [TEX]a^4+b^4+c^4+24(1 - a)( 1 - b)(1 - c)[/TEX]





Cảm ơn mọi người nhiều nhiều :-*

Đặt x=2-a;y=2-b;z=2-c

=> x+y+z=0

=> $(2-x)^4+(2-y)^4+(2-z)^4+24(x-1)(y-1)(z-1)$

<=> $=(x^4+y^4+z^4)-8(x^3+y^3+z^3)+24(x^2+y^2+z^2)-32(x+y+z)+48+24xyz-24(xy+yz+zx)-24$
mà x+y+z=0=> $x^3+y^3+z^3=3zyx$
$=(x^4+y^4+z^4)-24xyz+24xyz+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24$

$=(x^4+y^4+z^4)+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24$

Ta có:

x+y+z=0 => $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx)$

\Leftrightarrow $x^4+y^4+z^4=2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
\Leftrightarrow $2(x^4+y^4+z^4)=(x^2+y^2+z^2)^2$@};-
Mà theo đk đề bài $0\leqx;y;z\leq4$

\Rightarrow $x^2$\leq4

<=> $4x^2-x^4=x^2(4-x^2)$\geq0

\Rightarrow $4(x^2+y^2+z^2)$\geq $x^4+y^4+z^4$ @};-@};-

Từ @};- và @};-@};-

=>$(x^2+y^2+z^2)$\leq 8

Từ đó tính đk GTLN của Biểu thức

p.s: mình đang vội đi măm măm nên làm tắt ....

 

[myn_suju_exo]

Đặt x=2-a;y=2-b;z=2-c

=> x+y+z=0

=> $(2-x)^4+(2-y)^4+(2-z)^4+24(x-1)(y-1)(z-1)$

<=> $=(x^4+y^4+z^4)-8(x^3+y^3+z^3)+24(x^2+y^2+z^2)-32(x+y+z)+48+24xyz-24(xy+yz+zx)-24$
mà x+y+z=0=> $x^3+y^3+z^3=3zyx$
$=(x^4+y^4+z^4)-24xyz+24xyz+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24$

$=(x^4+y^4+z^4)+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24$

Ta có:

x+y+z=0 => $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx)$

\Leftrightarrow $x^4+y^4+z^4=2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
\Leftrightarrow $2(x^4+y^4+z^4)=(x^2+y^2+z^2)^2$@};-
Mà theo đk đề bài $0\leqx;y;z\leq4$

\Rightarrow $x^2$\leq4

<=> $4x^2-x^4=x^2(4-x^2)$\geq0

\Rightarrow $4(x^2+y^2+z^2)$\geq $x^4+y^4+z^4$ @};-@};-

Từ @};- và @};-@};-

=>$(x^2+y^2+z^2)$\leq 8

Từ đó tính đk GTLN của Biểu thức

p.s: mình đang vội đi măm măm nên làm tắt ....

Bạn ơi, sao O\leqx,y,z\leq4 thì [TEX]x^2[/TEX]\leq4 ợ, tớ không hỉu à :-O

 

[myn_suju_exo]

À à, tớ hiểu rầu, giúp tớ phần GTNN với

Tớ thấy bạn giỏi thật á @};-

 

[letsmile519]

GTNN:

(Theo cái trên mình giải) đến bước:

$=x^4+y^4+z^4+24(x^2+y^2+z^2)-24(xy+yz+zx)+24$

Theo Bunhia

$x^4+y^4+z^4$\geq $\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3}$

$(x^2+y^2+z^2)$\geq $\frac{(x+y+z)^2}{3}=0$

$-(xy+yz+zx)$\geq $x^2+y^2+z^2$\geq0

\Rightarrow

Biểu thức đó \geq 24

P.s: Mình chỉ là bình thường thôi bạn, trên diễn đàn nhiều người giỏi hơn mình à....

 

[phananthai4]

Bạn ơi bạn có thể nói rõ hơn về lúc xảy ra đẳng thức cũng như phương pháp k,t thấy nó cứ thế nào ý ^^