Trước tiên bọn mình đặt $ \displaystyle t=a+b $ đi cho dễ nói chuyện .
Chú ý là
$$ t+t^2 \ge a+b+4ab=4a^2+4b^2 \ge 2 \left( a+b \right)^2= 2t^2 $$
Giải ra
$$ 0 \le t \le 1 $$
Bây giờ từ điều kiện đề bài có
$$ t+4ab=4 \left(t^2-2ab \right) $$
Suy ra
$$ ab=\frac{4t^2-t}{12} $$
Lúc đó
$$ a^2+b^2=\frac{t+\frac{4t^2-t}{3}}{4}=\frac{2t^2+t}{6} $$
Bây giờ nếu tính $ \displaystyle a^3+b^3 $ theo $ \displaystyle t $ được thì có thể khảo sát hàm gì gì đó được rồi .
Ta thấy
$$ \left( a+b \right) \left( a^2+b^2 \right) =a^3+b^3+ab \left(a+b \right) $$
Suy ra
$$ a^3+b^3=\left( a+b \right) \left( a^2+b^2 \right)-ab \left(a+b \right)=\frac{t^2}{4} $$
Lúc đó
$$ P=20 \left(\frac{t^2}{4} \right)-6 \left(\frac{2t^2+t}{6} \right)+2013=3t^2-t+2013 =\left( t-1 \right) \left( 3t+2 \right)+2015 \le 2015$$
Tại $ \displaystyle a=b=\frac{1}{2} $ thỏa điều kiện đề bài thì đẳng thức xảy ra.
Vậy
$$ \max \ P=2015 $$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn