Đề thi Olympic lớp 8- Huyện Thanh Oai

[hp_s2_1319]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

time:120 phút
Câu 1 (6 điểm)
1.Phân tích đa thức sau thành nhân tử [tex] (x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3[/tex]
2.CM bất đẳng thức:[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}[/tex] (với a>0,b>0)
Câu 2(5 điểm)
Giải các phương trình sau:
[tex]1. |x-3|+|x-5| = 2 [/tex] (Trị tuyệt đối là "||" nhé )
[tex]2. |x-2011|^{2011}+|x-2012|^{2012} = 1[/tex]
Câu 3(3 điểm)
Tìm số nguyên a,b,c thỏa mãn:
[tex]a^2+b^2+c^2+3 < ab+3b+2c [/tex]
Câu 4(4 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC, 2 đường cao BI và CK.
a,Cminh:[tex] AK.AB=AI.AC[/tex]
b,Cminh:[tex]\widehat{AIK}=\widehat{ABC}[/tex]
c,Biết góc A = 60 độ, dtích tam giác ABC= 160 cmv. tính dtích tam giác AIK?
Câu 5(2 điểm)
CMR trong các tam giác vuông có chiều cao ứng với cạnh huyền ko đổi, tam giác vuông cân có chu vi nhỏ nhất ?

********************************Hết

Đề này đa số dễ, quan trọng là có làm đc phần 2 câu 2; Câu3 và câu 5 ko...
Mời mọi ngời thử

 

[luuquangthuan]

Câu 1 Đáp số là
3(x+y)(y+z)(z+x)
Nhóm 2 hạng tử đầu và 2 hạng tử cuối....
hoặc phân tích (x+ y + z)^3 rồi phân tích....
Thanks nhé bạn,,,,,

Câu 2 nè:
[TEX]\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]-[TEX]\frac{4}{a+b}[/TEX] [TEX]\geq[/TEX]0
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX]\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)}[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0
Ta có
[TEX](a-b)^2[/TEX][TEX]\geq[/TEX]0
ab(a+b) khác 0
[TEX]\Rightarrow[/TEX]điều phải chứng minh

Câu 3:
Xét x>5 thì
x-3+x-5 =2
x=5
Xét x<3 thì 3-x + 5 -x =2
x=3
Xét 3[TEX]\leq[/TEX]x[TEX]\leq[/TEX]5
x-3 +5-x =2
x=R
câu b tương tự

Câu 4:
Xét tam giác AIB đồng dạng tam giác AKC
[TEX]\Rightarrow[/TEX] [TEX]\frac{AI}{AK}[/TEX] = [TEX]\frac{AB}{AC}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow[/TEX] AK.AB=AI.AC
Từ câu a có tỉ số đồng dạng, chung góc A suy ra hai tam giác đồng dạng với nhau

 

[hp_s2_1319]

Câu 3:
Xét x>5 thì
x-3+x-5 =2
x=5
Xét x<3 thì 3-x + 5 -x =2
x=3
Xét 3[TEX]\leq[/TEX]x[TEX]\leq[/TEX]5
x-3 +5-x =2
x=R
câu b tương tự


Câu b ko cM tương tự đc đâu
bạn cố gắng thử lại xem
Câu a còn có cách khác nhanh hơn đó
bạn nghĩ thủ xem

 

[buithinhvan77]

Câu 3:
Xét x>5 thì
x-3+x-5 =2
x=5
Xét x<3 thì 3-x + 5 -x =2
x=3
Xét 3[TEX]\leq[/TEX]x[TEX]\leq[/TEX]5
x-3 +5-x =2
x=R
câu b tương tự


Câu b ko cM tương tự đc đâu
bạn cố gắng thử lại xem
Câu a còn có cách khác nhanh hơn đó
bạn nghĩ thủ xem

Bài 5. Có lẽ là cạnh huyển không đổi thôi chứ?
Vậy bạn hãy chứng minh " Tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC không đổi, chứng minh chu vi nhỏ nhất khi ABC là tam giác vuông cân"
Vậy thì qua A kẻ đường thẳng a// BC, lấy D đối xứng B qua a ta có AB = AD
=> AB + AC = AD +AC \geq DC ; dấu "=" khi A, C, D thẳng hàng và dễ có tam giác DBC vuông tại B nên AD = AB = AC nên AB + AC nhỏ nhất khi AB = AC

 

[son9701]

Trường mình tình hình thế nào e? (a cũng Nguyễn Trực),bao h thông báo lên tường cho a nhá

Chém câu 5/Gọi độ dài 2 cạnh góc vuông là b;c,cạnh huyền là a;trung tuyến ứng vs cạnh huyền là d và độ dài đg cao là h(h k đổi)
Ta có :
[TEX]a^2=b^2+c^2 \Rightarrow a=\sqrt{b^2+c^2}[/TEX]

và [TEX]2S=a.h=b.c \Rightarrow h=\frac{bc}{a}=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}[/TEX]
Ta có:

[TEX]a= 2d \geq 2h[/TEX](1)
và áp dụng bất đẳng thức cô-sy:

[TEX]b+c \geq 2\sqrt{bc} ; \sqrt{b^2+c^2} \geq \sqrt{2bc} \Rightarrow \sqrt{b^2+c^2}(b+c) \geq 2\sqrt{2}bc [/TEX](nhân theo vế bất đẳng thức)

[TEX]\Leftrightarrow b+c \geq 2\sqrt{2}.\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}} = 2\sqrt{2}.h[/TEX](2)

Từ (1) và (2) ta có:

[TEX]P=a+b+c \geq 2h+2\sqrt{2}.h(=P_{min})[/TEX]

[TEX]MinP= 2h(1+\sqrt{2}) \Leftrightarrow b=c;d=h \Leftrightarrow [/TEX]tam giác đó là tam giác vuông cân

-------------------------------------
Câu 1: Áp dụng hằng đẳng thức :
[tex](x+y+z)^3= x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)[/tex]

-------------------------------------
Câu 3: Bài tập này khá nổi tiếng (trên báo toán có chùm bài này rồi ( TTT tháng trc c~ có bài tg tự))

Vì a;b;c nguyên nên bất đẳng thức đã cho tg đg vs:
[tex]a^2+b^2+c^2+4 \leq ab+3b+2c \Leftrightarrow (a-\frac{b}{2})^2 + 3(\frac{b}{2}-1)^2 +(c-1)^2 \leq 0[/tex]
Giải cái này thì dễ rồi do vế trái luôn lớn hơn bằng 0 mà ...............

-------------------------------------
Câu 2.2: Đối với học sinh lớp 8 thì .............. vì chưa đc lm quen dạng này nhiều

Ta có nhận xét sau: Với số a thỏa mãn [tex]0 \leq a \leq 1[/tex]thì [tex]a^n \leq a[/tex] với n tự nhiên > 1

chứng minh nhận xét: Ta có bđt tg đg : [tex]a^{n-1} \leq 1[/tex] (đúng do [tex]0\leq a \leq 1[/tex]

Khi đó:Xét các khoảng giá trị của x:

x=2012;x=2011 là nghiệm của pt

[tex] x < 2011 \Rightarrow |x-2012| > 1 ;|x-2011| > 0 \Rightarrow |x-2012|^{2012}+|x-2011|^{2011} > 1^{2012}+0^{2011}=1[/tex](loại)

[tex] x > 2012 \Rightarrow |x-2011| > 1 ;|x-2012| > 0 \Rightarrow |x-2012|^{2012}+|x-2011|^{2011} > 0^{2012}+1^{2011}=1[/tex] (loại)

[tex]2011< x < 2012 \Rightarrow 0< |x-2011|;|x-2012|<1 \Rightarrow |x-2011|^{2011} < |x-2011|=x-2011 ; |x-2012|^{2012} < |x-2012|=2012-x \Rightarrow |x-2011|^{2011}+|x-2012|^{2012} < x-2011+2012-x= 1[/tex] (loại)