Đề thi Olympic Hà Nội- Amsterdam môn toán 7 năm 2011

[tep1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: (5 điểm)
Cho [TEX]f(x)= x^3- 2x^2.x- 7x.x- 3x^2- 5x- 2.[/TEX]
[TEX] g(x)= x^4- 3x^3- 15x- 6.[/TEX]
[TEX]A(x)= -3f(x)+ g(x)[/TEX]
Chứng minh giá trị của đa thức A(x) không âm với mọi x.
Bài 2: (4 điểm)
a, Tìm các cặp số (x,y) thỏa mãn [TEX]\begin{vmatrix} x^4- & 1 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y^2- & 1 \end{vmatrix}= 0[/TEX]
b, Cho hàm số f(x) sao cho [TEX]f(f(x))= x+10[/TEX]. Biết f(2001)= 2011. Tính f(2011)
Bài 3: (4 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tùy ý trong tam giác BCD. Điểm N thuộc nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C sao cho BN vuông góc và bằng BM.
a, CMR CM=AN và CM vuông góc với AN.
b, Lấy điểm P trong hình vuông sao cho AP// CM và [TEX]AP^2+ CM^2= PM^2[/TEX]. Tính độ lớn góc PBM.
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB,AC. Kẻ ED vuông góc với BF. Tam giác ACD là tam giác gì? Giải thích.
Bài 5: (3 điểm)
Cho [TEX]A= (2^9)[/TEX]^1945 và S(A)= a,S(a)=b, S(b)=c. Tìm c.
( S(m) là ký hiệu tổng các chữ số của số m)

 

[harrypham]

Bài 2. a)

Do

Ta có

 

[braga]

Bai2b:

Ta có: [TEX]f[f(x)]=x+10 \ ; \ f[f(2001)]=2011[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(2011) = f\{f[f(2001)] \} = f[f(2001)] + 10 = 2011 + 10 = 2021[/TEX]

 

[soicon_boy_9x]

5Ta thấy ngay rằng [TEX](2^9)^{1945} = (8^3)^{1945} < 10^{5835}[/TEX] nên số chữ số của A ít hơn 5835 số
Ta có [TEX]a < 9.5835 = 52515[/TEX](số chữ số của A lớn nhất là 9) nên [TEX]b < 5 + 4.9 = 41[/TEX] và [TEX]c < 4 + 1.9 =13[/TEX]
Ta thấyA đồng dư 8 (mod 9) nên c cũng đồng dư 8 (mod 9)
Từ đó ta có được c = 8
P/S:Đề khó như cắt cổ

 

[soicon_boy_9x]

Bai2b:

Ta có: [TEX]f[f(x)]=x+10 \ ; \ f[f(2001)]=2011[/TEX]

[TEX]\Rightarrow f(2011) = f\{f[f(2001)] \} = f[f(2001)] + 10 = 2011 + 10 = 2021[/TEX]

[TEX]f\{f[f(2001)] \} = f[f(2001)] + 10???[/TEX]
Cho mình hỏi cái này bởi vì theo điều kiện đề bài thì
[TEX]f\{f[f(2001)] \} = f(2001)] + 10[/TEX]
Làm như bạn braga vừa làm cho đề trở nên thừa dữ kiện vừa trở nên sai
Nhưng cách làm của bạn braga cũng rất hay
Có lẽ là bạn chỉ nhầm lẫn một chút thôi
Dù gì cũng cảm ơn bạn

 

[braga]

Bài 1: Hương làm bài này ta đi chứng minh cho [TEX]A(x) \geq 0[/TEX] :-? Ta thử Thay f(x0 và g(x) và A(x) xem được ko nhỉ :-?
Thật may mắn , ta có:

[TEX]A(x)=-3(x^3- 2x^2.x- 7x.x- 3x^2- 5x- 2)+ x^4- 3x^3- 15x- 6 \\\\ A(x)=-3x^3+6x^2+21x^2+9x^2+15x+6+x^4-3x^3-15x \\\\ A(x)=30x^2+x^4 \geq 0[/TEX]

Vậy bài toán được giải quết