[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
$\text{TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$
$\textbf{TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$
\[\textbf{ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2017}\]
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề
$\text{Ngày thi thứ nhất}$
Câu 1. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=2017$ và
\[a_{n+1}=a^3_n-a^2_n-3a_n+4\]
với mọi số nguyên dương $n \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để $a_n - 2$ chia hết cho $5^{2017}$
Câu 2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho
\[P(a)^2+P(b)^2+P(c)^2=P(a+b+c)^2+2\]
với mọi bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn $ab+bc+ca+1=0$
Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Trên đường thẳng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $CM \parallel BN \parallel DA$. $DM,DN$ lần lượt cắt đường tròn $(I)$ tại $P,Q$ khác $D$.
a) Chứng minh rằng $BP,CQ,AD$ đồng quy tại điểm $J$
b) Gọi $X$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh rằng $JX$ đi qua trung điểm $MN$.
Câu 4. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng
\[ \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca \]
$\text{Ngày thi thứ hai}$
Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn
\[k^2-k+4=5^m(2+10^n)\]
Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$.Giả sử $KF$ cắt $BC$ tại $T$.$Q$ đối xứng qua $K$.$AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$
a) Chứng minh rằng $PT$ song song $KR$
b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau.
Câu 7. Giả sử $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ gồm các số thuộc tập $M= \lbrace 1,2,...,m \rbrace $ sao cho $a_1+a_2+a_3+...+a_n=2S$ với $S$ là số nguyên chia hết cho mọi phân tử của $M$. Chứng minh rằng người ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$.
$\textbf{TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$
\[\textbf{ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2017}\]
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề
$\text{Ngày thi thứ nhất}$
Câu 1. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=2017$ và
\[a_{n+1}=a^3_n-a^2_n-3a_n+4\]
với mọi số nguyên dương $n \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để $a_n - 2$ chia hết cho $5^{2017}$
Câu 2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho
\[P(a)^2+P(b)^2+P(c)^2=P(a+b+c)^2+2\]
với mọi bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn $ab+bc+ca+1=0$
Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Trên đường thẳng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $CM \parallel BN \parallel DA$. $DM,DN$ lần lượt cắt đường tròn $(I)$ tại $P,Q$ khác $D$.
a) Chứng minh rằng $BP,CQ,AD$ đồng quy tại điểm $J$
b) Gọi $X$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh rằng $JX$ đi qua trung điểm $MN$.
Câu 4. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng
\[ \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca \]
$\text{Ngày thi thứ hai}$
Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn
\[k^2-k+4=5^m(2+10^n)\]
Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$.Giả sử $KF$ cắt $BC$ tại $T$.$Q$ đối xứng qua $K$.$AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$
a) Chứng minh rằng $PT$ song song $KR$
b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau.
Câu 7. Giả sử $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ gồm các số thuộc tập $M= \lbrace 1,2,...,m \rbrace $ sao cho $a_1+a_2+a_3+...+a_n=2S$ với $S$ là số nguyên chia hết cho mọi phân tử của $M$. Chứng minh rằng người ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$.
