Toán Đề thi olympic cấp trường 9

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,018
7,484
941
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
Giải. Kẻ đường phân giác $BD$ của $\triangle{ABC}$
Suy ra $\widehat{DAB} = \widehat{DBA} ( = 36^\circ)$ nên $AD = BD$
Lại có $\widehat{BDC} = \widehat{BCD} ( = 72^\circ)$ nên $BD = BC$
Khi đó $AD =BC$. Áp dụng tính chất đường phân giác kết hợp tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong $\triangle{ABC}$ $$\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{AD+CD}{AB+CB} = \dfrac{AC}{AB+CB}$$
Tương đương $$\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{AB}{AB + BC}$$
Suy ra $AB^2 - BC \cdot AB - BC^2 = 0$ hay $\left( \dfrac{AB}{BC} \right)^2 - \dfrac{AB}{BC} - 1 = 0$
Giải phương trình bậc $2$ ẩn $\dfrac{AB}{BC}$ ta thu được $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}2$ (N) hoặc $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}2$ (L)
Khi đó $\dfrac{BC}{AB - BC} = \dfrac{1}{\dfrac{AB}{BC} - 1} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}2$
 
Top Bottom