đề thi hsg

[su10112000a]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a/ $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$
b/ $x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)$
Bài 2: So sánh các cặp số sau:
a/ $A=1999.2001$ và $B=2000^2$
b/ $C=3^{n+1}+4.2^{n-1}-81.3^{n-3}-8.2^{n-2}+1$ và $D=(2^n+1)^2+(2^n-1)^2-2(4^n+1)$ (với n nguyên dương)
Bài 3: Cho $x^2=a^2+b^2+ab$ và $a+b=c$. Chứng minh rằng:
$2x^4=a^4+b^4+c^4$
Bài 4: Cho $x, y$ là $2$ số khác nhau thỏa mãn $x^2+y=y^2+x$. Tính giá trị biểu thức sau:
$A=\dfrac{x^2+y^2+xy}{xy-1}$
Bài 5: Tìm $\mathfrak{GTNN}$ của các biểu thức sau:
a/ $A=x^2+5y^2-2xy+4y+3$
b/ $B=(x^2-2x)(x^2-2x+2)$
Bài 6:
Cho hình bình hành $ABCD$. Một đường thẳng cắt $AB$ ở $E$, cắt $AD$ ở $F$ và cắt đường chéo $AC$ tại $G$. Chứng minh:
$$\dfrac{AB}{AE} + \dfrac{AD}{AF} = \dfrac{AC}{AG}$$

 

[buivanbao123]

Bài 1
a)a/ $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$
\Leftrightarrow $(x-y+y-z)[(x-y)^{2}-(x-y)(y-z)+(y-z)^{2}]-(x-z)(x^{2}+xz+z^{2})$
\Leftrightarrow $(x-z)[(x-y)^{2}-(x-y)(y-z)+(y-z)^{2}-(x^{2}+xz+z^{2})]$

Câu 1
b)$x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)$
\Leftrightarrow $xy^{2}-xz^{2}+yz^{2}-x^{2}y+x^{2}z-y^{2}z$
\Leftrightarrow $(xy^{2}-y^{2}z)+(yz^{2}-x^{2}y)+(x^{2}z-xz^{2})$
\Leftrightarrow $y^{2}(x-z)-y(x^{2}-z^{2})+xz(x-z)$
\Leftrightarrow $y(x-z)(y-z)$

 

[demon311]

Câu 2a: Dễ thế:
$1999.2001=2000^2-1<2000^2$
5)
$A=(x-y)^2+(2y+1)^2+2 \ge 2 \\
Min \; A=2 \leftrightarrow x=y=-\dfrac{ 1}{2}$

 

[riverflowsinyou1]

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a/ $(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$
b/ $x(y^2-z^2)+y(z^2-x^2)+z(x^2-y^2)$
Bài 2: So sánh các cặp số sau:
a/ $A=1999.2001$ và $B=2000^2$
b/ $C=3^{n+1}+4.2^{n-1}-81.3^{n-3}-8.2^{n-2}+1$ và $D=(2^n+1)^2+(n^2-1)^2-2(4^n+1)$ (với n nguyên dương)
Bài 3: Cho $x^2=a^2+b^2+ab$ và $a+b=c$. Chứng minh rằng:
$2x^4=a^4+b^4+c^4$
Bài 4: Cho $x, y$ là $2$ số khác nhau thỏa mãn $x^2+y=y^2+x$. Tính giá trị biểu thức sau:
$A=\dfrac{x^2+y^2+xy}{xy-1}$
Bài 5: Tìm $\mathfrak{GTNN}$ của các biểu thức sau:
a/ $A=x^2+5y^2-2xy+4y+3$
b/ $B=(x^2-2x)(x^2-2x+2)$
Bài 6:
Cho hình bình hành $ABCD$. Một đường thẳng cắt $AB$ ở $E$, cắt $AD$ ở $F$ và cắt đường chéo $AC$ tại $G$. Chứng minh:
$$\dfrac{AB}{AE} + \dfrac{AD}{AF} = \dfrac{AC}{AG}$$

4) Từ đề suy ra $(x-y)(x+y-1)=0$
TH1: $x=y$ thế vào tìm ra $A$
TH1: $x=-y-1$ cũng thế vào o-+
5) a/ $A=x^2+5y^2-2xy+4y+3=(x-y)^2+4y^2+4y+3=(x-y)^2+(2y+1)^2+2 \ge 2$
b) $B=(x^2-2x+1-1)(x^2-2x+1+1)=(x^2-2x+1)^2-1 \ge -1$

 

[trinhminh18]

bài 6

Bài 6:
Cho hình bình hành $ABCD$. Một đường thẳng cắt $AB$ ở $E$, cắt $AD$ ở $F$ và cắt đường chéo $AC$ tại $G$. Chứng minh:
$$\dfrac{AB}{AE} + \dfrac{AD}{AF} = \dfrac{AC}{AG}$$

Kẻ BH;DK//EF (H;K thuộc AC)
Dễ dàng c/m đc tam giác DAK= tam giác BCH (g.c.g)
\RightarrowAK=CH
Sử dụng định lý Ta-lét có
$\dfrac{AB}{AE}$=$\dfrac{AH}{AG}$ (1)
$\dfrac{AD}{AF}$=$\dfrac{AK}{AG}$
Mà AK=CH nên$\dfrac{AD}{AF}$=$\dfrac{CH}{AG}$ (2)
Từ (1);(2)\Rightarrow ĐPCM

 

[thinhrost1]

Bài 3: Cho $x^2=a^2+b^2+ab$ và $a+b=c$. Chứng minh rằng:
$2x^4=a^4+b^4+c^4$

$2x^4=2(a^2+b^2+ab)^2=a^4+b^4+(a^4+4ab^3+6a^2b^2+4a^3b+b^4)=a^4+b^4+(a+b)^4=a^4+b^4+c^4 (ĐPCM)$

 

[nhuquynhdat]

Câu 3

Ta có:
$VT=2x^4=2(x^2)^2=2(a^2+b^2+ab)^2=2(a^4+b^4+3a^2b^2+2ab(a^2+b^2))$

$VP= a^4+b^4+c^4=a^4+b^4+(a+b)^4=a^4+b^4+a^4+b^4+6a^2b^2+4ab(a^2+b^2)$

$=2(a^4+b^4+3a^2b^2+2ab(a^2+b^2))=VT$

 

[ronaldover7]

Bài 4: Cho $x, y$ là $2$ số khác nhau thỏa mãn $x^2+y=y^2+x$. Tính giá trị biểu thức sau:
$A=\dfrac{x^2+y^2+xy}{xy-1}$

Bài làm
$x^2+y=y^2+x$ \Rightarrow $x^2-y^2+y-x=0$
\Rightarrow (x-y)(x+y-1)=0
\Rightarrow x+y=1(do x khác y)
$A=\dfrac{x^2+y^2+xy}{xy-1}$ \Rightarrow A+1=$A=\dfrac{x^2+y^2+2xy-1}{xy-1}$
=$A+1=\dfrac{(x+y)^2-1}{xy-1}=\dfrac{1-1}{xy-1}$=0
\Rightarrow A=-1

 

[su10112000a]

b/ $C=3^{n+1}+4.2^{n-1}-81.3^{n-3}-8.2^{n-2}+1$ và $D=(2^n+1)^2+(n^2-1)^2-2(4^n+1)$ (với n nguyên dương)

còn bài này sao không ai làm hết nhỉ..............................................................

 

[thinhrost1]

Bài cuối

: b/ $C=3^{n+1}+4.2^{n-1}-81.3^{n-3}-8.2^{n-2}+1$ và $D=(2^n+1)^2+(n^2-1)^2-2(4^n+1)$ (với n nguyên dương)

$C=3^{n+1}+4.2^{n-1}-81.3^{n-3}-8.2^{n-2}+1=3^{n+1}-3^{n+1}+2^{n+1}-2^{n+1}+1=1$

$D=(2^n+1)^2+(n^2-1)^2-2(4^n+1)=2^{2n}+2^{n+1}+1+n^4-2n^2+1-2^{2n+1}-2=2^{n+1}-2^{2n}+n^4-2n^2$ Luôn nhỏ hơn 1 với $ n\neq 3$

Vậy với n nguyên dương khác 3 thì $C>D$, $n=3$ thì $D>C$