Đề thi HSG toán

[conangbuongbinh_97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tim mai moi duoc may cai de nay.Cung thuong thuc va nho Thanks to nha.Hi...hi
1)Tong 21^39+39^21 co chia het cho 45 khong?Vi sao?
2)Tim so du khi chia:
A=3^(2n)+3^n+1 cho13(n thuoc N)
3)Chung minh rang 2^105+3^105 chia het cho 7,11,463
4)Tim cap so(x,y)voi y nho nhat thoa man:
x^2+5y^2+2y-4xy-3=0

 

[nhatkhang334]

Tim mai moi duoc may cai de nay.Cung thuong thuc va nho Thanks to nha.Hi...hi
2)Tim so du khi chia:
A=3^(2n)+3^n+1 cho13(n thuoc N)

[TEX]3^{2n}+3^{n}+1 = 12^n+1[/TEX]
Ta thấy:
[TEX]12\equiv -1(mod13)[/TEX]
Với [TEX]n=2k (k \in \ N)[/TEX] thì:
[TEX]12^n \equiv 1(mod13)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 12^n +1\equiv 2(mod13)[/TEX]
Với [TEX]n=2k+1 (k \in \ N)[/TEX] thì:
[TEX]12^n \equiv -1(mod13)[/TEX] hay [TEX]12^n \equiv 12(mod13)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 12^n +1 \equiv 0(mod13)[/TEX]
Vậy Số dư khi chia A cho 13 là 0 hoặc 2

 

[thienlong_cuong]

1)Tong 21^39+39^21 co chia het cho 45 khong?Vi sao?

Ta có :
21^39 tận cùng là 1
39^21 tận cùng là 9
=> [TEX]21^{39}+39^{21} [/TEX]tận cùng là 0
=> Chia hết 5
Mặt khác ta có
[TEX]21^{39} = 3^{39}.7^{39}[/TEX] (luôn chia hết 9)
Tương tự
[TEX]39^{21} = 3^{21}. 13^{21}[/TEX] luôn chia hết cho 9

Từ những điều trên
=> Luôn chia hết 45

 

[thienlong_cuong]

3)Chung minh rang 2^105+3^105 chia het cho 7,11,463

Ta có :
2^105 + 3^105
= 8^35 + 27^35
Có
8 chia 7 dư 1
=> 8^35 đồng dư vs 1^35 theo mod 7
=> 8^35 chia 7 dư 1­
Tương tự
3^105 chia 7 dư -1
từ những điều trên => chia hết 7

2^105 = 32^21 chia 11 dư -1
3^105 = 243^21 chia 11 dư 1
Từ 2 cái trên => Luôn chia hết 11

 

[thienlong_cuong]

có
[TEX]2^{105} + 3^{105}[/TEX]

= [TEX](2^{7})^{15} + (3^{7})^{15}[/TEX]

= [TEX](2^{7} + 3^{7})(...............)[/TEX]
Có 2^7 + 3^7 chia hết 463
=> [TEX]2^{105} + 3^{105}[/TEX] chia hết 463