Đề thi HSG Toán lớp 8

[songdinh7499]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Tính tổng:
S= [TEX]\frac{1}{2.5}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{5.8}[/TEX]+[TEX]\frac{8}{11}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}[/TEX]
Câu 2:
Cho x-y= 1 và [TEX]x^2 + y^2[/TEX]=3. Tính [TEX]x^3 +y^3[/TEX]
Câu 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ [TEX]4x^3 - 5x^2 - 16x + 20[/TEX]
b/ [TEX]64x^4 +1[/TEX]
Câu 4 :
a/ CMR [TEX]a^3 - 13a[/TEX] chia hết cho 6 \forall a \in Z
b/ Tìm GTLN của A = [TEX]\frac{2}{x^2 - 16x + 65}[/TEX]
Câu 5 :
Cho tam giác ABC, đường phân giác BD. Trên BD lấy điểm E. Đường thẳng qua E và song song với BC cắt AB tại F. Đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC tại G.
a/ CM BFEG là hình thoi
b/ Vẽ điểm H đx với B qua F, điểm K đx với E qua F. CM [TEX]\{KBE}=90^o[/TEX] và KE=BH.
c/ Điều kiện của tam giác ABC để tứ giác BKHE là hình vuông.


:khi (196)::khi (196)::khi (196)::khi (196):

 

[noinhobinhyen]

Câu 1.

Ta có $3S = \dfrac{3}{2.5}+\dfrac{3}{5.8}+...$

Em hãy viết rằng $3=5-2=8-5=....$

$\Rightarrow 3S=\dfrac{5-2}{2.5}+\dfrac{8-5}{5.8}+...$

$\Leftrightarrow 3S = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+...$

Rút gọn ....

Câu 2.

$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy=3-2xy=1 \Rightarrow xy=1$

$\Rightarrow (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=5 \Rightarrow x+y=\pm\sqrt[]{5}$

$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=.......$

thay số thôi em

Câu 3.

a,$4x^3-5x^2-16x+20 = (x-2)(x+2)(4x-5)$

b,$64x^4+1 = 64x^4+16x^2+1-16x^2$

$= (8x^2+1)^2-(4x)^2$

$=(8x^2-4x+1)(8x^2+4x+1)$

Câu 4.

a, thay a=1 đúng . giả sử $a^3-13a \vdots 6 $ với $a=k$ nghĩa là

$k^3-13k \vdots 6 $

Ta chứng minh với $a=k+1$ thì $a^3-13a \vdots 6$

Ta có $(k+1)^3-13(k+1)=k^3-13k+3k^2+3k-12=(k^3-13)+3k(k+1)-12 \vdots 6$

Vậy có đpcm

b,Ta có $x^2-16x+65=(x-8)^2+1 \geq 1 \Rightarrow \dfrac{2}{x^2-16x+65} \leq 2$

$MAX_A = 2 \Leftrightarrow x=8$

 

[harrypham]

2. $x-y=1 \implies (x-y)^2=1 \implies x^2-2xy+y^2=1 \implies 3-2xy=1 \implies 2xy=2$.
Do đó $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=3+2=5 \implies x+y= \pm \sqrt{5}$.
+ TH1: Nếu $x+y= \sqrt{5}$. Ta có $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=( \sqrt{5})^3-3 \cdot 1 \cdot \sqrt{5}= 2 \sqrt{5}$.
+ TH2: Nếu $x+y= - \sqrt{5}$ Ta có $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)= (- \sqrt{5})^3- 3 \cdot 1 \cdot (- \sqrt{5})= -2 \sqrt{5}$

3. $4x^3-5x^2-16x+20$
$=(4x^3-8x^2)+(3x^2-6x)-(10x-20)$
$=4x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$
$=(4x^2+3x-10)(x-2)$
$=[(4x^2+8x)-(5x+10)](x-2)$
$=[4x(x+2)-5(x+2)](x-2)$
$=(4x-5)(x+2)(x-2)$.

$64x^4+1=(8x^2)^2+2 \cdot 8x^2+1 - (4x)^2 = (8x^2+1)^2-(4x)^2$
$=(8x^2-4x+1)(8x^2+4x+1)$

4. a, $a^3-13a=(a^3-a)-12a=(a-1)a(a+1)-12a$.
Vì $a \in \mathbb{Z}$ nên $(a-1)a(a+1)$ là tích ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một trong ba số trên một số chia hết cho $2$, một số chia hết cho $3$. Mà $(2,3)=1$ nên $(a-1)a(a+1)$ chia hết cho $6$. Do đó ta có đpcm.

b, $A= \dfrac{2}{x^2-16x+65}= \dfrac{2}{(x-8)^2+1}$.
Vì $(x-8)^2 \ge 1 \implies (x-8)^2+1 \ge 1$.
Do đó $A \le \frac{2}{1}=2$.
Vậy $\max A=2$ khi $x=8$.

 

[harrypham]

5. Tự vẽ hình nhé!
a, Tứ giác $BGEF$ là hình bình hành (vì $EF//BC,EG//FB$) lại có $BE$ phân giác $\widehat{FBG}$ nên tứ giác $BGEF$ là hình thoi.

b, Theo giả thiết ta suy ra $FH=FB$ và $KF=FE$ mà $FE=FB$ (tính chất hình thoi) nên $HB=KE$. Dễ chứng minh $HKBE$ là hình bình hành có hai đường chéo $KE=BH$ nên $HKBE$ là hình chữ nhật, do đó $\widehat{KBE}=90^o$.

c, Hình chữ nhật $BKHE$ là hình vuông $\iff KE \perp HB \iff HB \perp BC$ (vì $KE//BC$) $ \iff AC \perp BC$.
Vậy để tứ giác $KBEH$ là hình vuông thì $\widehat{ABC}=90^o$