Toán 9 Đề thi HSG Toán 9 cấp Huyện

[Minh Tín]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) a) Tính giá trị của biểu thức [tex]P=(12x^2+4x-57)^{2019}[/tex] với [tex]x=\frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}}[/tex]
b) Cho các số dương [TEX]a,b[/TEX] và [tex]x=\frac{2ab}{b^2+1}[/tex]. Cho [tex]Q=\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} + \frac{1}{3b}[/tex]. Chứng minh [TEX]Q[/TEX] xác định. Rút gọn [TEX]Q[/TEX]

2) a) Giải phương trình [tex]2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}-\sqrt{5x+11}=0[/tex]
b) Tìm nghiệm nguyên [TEX](x,y)[/TEX] của phương trình [TEX](x+y)(x+2y)=x+5[/TEX]

3) a) Cho [tex]S= 1.2.3 +2.3.4+...+n(n+1)(n+2)[/tex] với [TEX]n[/TEX] là số nguyên dương. Chứng minh [TEX]4S+1[/TEX] là số chính phương.
b) Cho 3 số dương [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{x}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}} \leq 1[/tex]

4) Cho 2 số thực dương [TEX]x,y[/TEX] thỏa [tex]\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y} = 1[/tex]
Tính giá trị lớn nhất của [tex]A=xy^2[/tex]

5)
1. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Lấy M không trùng A, B; di động trên đường tròn (O). Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là E. BM cắt CN tại F.
Chứng minh rằng:
a) A,E,F thẳng hàng
b) Tích AM.AN không đổi
c) A là trọng tâm tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

2. Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn. Từ B kẻ BM vuông góc AC tại M. Chứng minh [tex]\frac{AM}{MC}+1=2(\frac{AB}{BC})^2[/tex]

@Hoàng Vũ Nghị
@Tiến Phùng
@shorlochomevn@gmail.com

 

[ankhongu]

1) a) Tính giá trị của biểu thức [tex]P=(12x^2+4x-57)^{2019}[/tex] với [tex]x=\frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}}[/tex]
b) Cho các số dương [TEX]a,b[/TEX] và [tex]x=\frac{2ab}{b^2+1}[/tex]. Cho [tex]Q=\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} + \frac{1}{3b}[/tex]. Chứng minh [TEX]Q[/TEX] xác định. Rút gọn [TEX]Q[/TEX]

2) a) Giải phương trình [tex]2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}-\sqrt{5x+11}=0[/tex]
b) Tìm nghiệm nguyên [TEX](x,y)[/TEX] của phương trình [TEX](x+y)(x+2y)=x+5[/TEX]

3) a) Cho [tex]S= 1.2.3 +2.3.4+...+n(n+1)(n+2)[/tex] với [TEX]n[/TEX] là số nguyên dương. Chứng minh [TEX]4S+1[/TEX] là số chính phương.
b) Cho 3 số dương [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{x}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}} \geq 1[/tex]

4) Cho 2 số thực dương [TEX]x,y[/TEX] thỏa [tex]\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y} = 1[/tex]
Tính giá trị lớn nhất của [tex]A=xy^2[/tex]

5)
1. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Lấy M không trùng A, B; di động trên đường tròn (O). Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là E. BM cắt CN tại F.
Chứng minh rằng:
a) A,E,F thẳng hàng
b) Tích AM.AN không đổi
c) A là trọng tâm tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

2. Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn. Từ B kẻ BM vuông góc AC tại M. Chứng minh [tex]\frac{AM}{MC}+1=2(\frac{AB}{BC})^2[/tex]

@Hoàng Vũ Nghị
@Tiến Phùng
@shorlochomevn@gmail.com

Có ai làm được bài 2 b) không chỉ cho mình với

 

[Hồng Vânn]

Có ai làm được bài 2 b) không chỉ cho mình với

Phân tích hết ra bạn nhé, rồi coi là phương trình bậc 2 ẩn x, sau đó, tính đenta rồi tìm y để đenta là số chính phương là được( vì x,y nguyên nhé)
P/s: Ờ mình cũng không chắc lắm :3

 

[shorlochomevn@gmail.com]

1) a) Tính giá trị của biểu thức [tex]P=(12x^2+4x-57)^{2019}[/tex] với [tex]x=\frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}}[/tex]
b) Cho các số dương [TEX]a,b[/TEX] và [tex]x=\frac{2ab}{b^2+1}[/tex]. Cho [tex]Q=\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}} + \frac{1}{3b}[/tex]. Chứng minh [TEX]Q[/TEX] xác định. Rút gọn [TEX]Q[/TEX]

2) a) Giải phương trình [tex]2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}-\sqrt{5x+11}=0[/tex]
b) Tìm nghiệm nguyên [TEX](x,y)[/TEX] của phương trình [TEX](x+y)(x+2y)=x+5[/TEX]

3) a) Cho [tex]S= 1.2.3 +2.3.4+...+n(n+1)(n+2)[/tex] với [TEX]n[/TEX] là số nguyên dương. Chứng minh [TEX]4S+1[/TEX] là số chính phương.
b) Cho 3 số dương [TEX]x,y,z[/TEX] thỏa [TEX]x+y+z=3[/TEX]. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{x}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}} \geq 1[/tex]

4) Cho 2 số thực dương [TEX]x,y[/TEX] thỏa [tex]\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y} = 1[/tex]
Tính giá trị lớn nhất của [tex]A=xy^2[/tex]

5)
1. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Lấy M không trùng A, B; di động trên đường tròn (O). Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai là E. BM cắt CN tại F.
Chứng minh rằng:
a) A,E,F thẳng hàng
b) Tích AM.AN không đổi
c) A là trọng tâm tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

2. Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn. Từ B kẻ BM vuông góc AC tại M. Chứng minh [tex]\frac{AM}{MC}+1=2(\frac{AB}{BC})^2[/tex]

@Hoàng Vũ Nghị
@Tiến Phùng
@shorlochomevn@gmail.com

bài 1:
a, [tex]x=\frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{6+2\sqrt{5}}-\sqrt{5}}\\ =\frac{\sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3}.(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{(1+\sqrt{5})^2}-\sqrt{5}}\\ =\frac{(1+\sqrt{3}).(\sqrt{3}-1)}{1+\sqrt{5}-\sqrt{5}}=3-1=2[/tex]
suy ra P=-1
b, ĐKXĐ: [tex]a+x\geq 0\\ <=> a+\frac{2ab}{b^2+1}=\frac{ab^2+2ab+a}{b^2+1}\\ =\frac{a.(b+1)^2}{b^2+1}>0[/tex] (bạn có thế suy trực tiếp >0 do a;x dương nhưng mình biến đổi luôn... )
[tex]a-x\geq 0\\ <=> a-\frac{2ab}{b^2+1}=\frac{ab^2-2ab+a}{b^2+1}=\frac{a.(b-1)^2}{b^2+1}\geq 0[/tex]
[tex]a+x\neq a-x\\ <=> x\neq 0[/tex] (luôn đúng do a;b dương)
vậy Q xác định
[tex]Q=\frac{a+x+a-x+2.\sqrt{(a+x).(a-x)}}{a+x-a+x}+\frac{1}{3b}\\ =\frac{2a+2\sqrt{(\frac{a.(b+1)^2}{b^2+1}).(\frac{a.(b-1)^2}{b^2+1})}}{2x}+\frac{1}{3b}\\\\ =\frac{2a+2.\frac{a.(b+1).(b-1)}{b^2+1}}{2x}+\frac{1}{3b}\\\\ =\frac{[a+\frac{a.(b^2-1)}{b^2+1}].(b^2+1)}{2ab}+\frac{1}{3b}\\\\ =\frac{2a+3.(ab^2+a+ab^2-a)}{6ab}=\frac{2a+6ab^2}{6ab}\\\\ =\frac{2a.(1+3b)}{6ab}=\frac{1+3b}{2b}[/tex]
bài 2:
a, [tex]2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}-\sqrt{5x+11}=0\\\\ <=> 2\sqrt{2x-1}+\sqrt{x+3}=\sqrt{5x+11}\\\\ <=> 4.(2x-1)+4.\sqrt{(2x-1).(x+3)}+x+3=5x+11\\\\ <=> 8x-4+x+3+4\sqrt{(2x-1).(x+3)}=5x+11\\\\ <=> 4x-12=-4.\sqrt{(2x-1).(x+3)}\\\\ <=> 3-x=\sqrt{(2x-1).(x+3)} (\frac{1}{2}\leq x\leq 3)\\\\ <=> 9-6x+x^2=(2x-1).(x+3)\\\\ <=> x^2-6x+9=2x^2+5x-3\\\\ <=> x^2+11x-12=0\\\\ <=> x^2-x+12x-12=0\\\\ <=> (x-1).(x+12)=0\\\\ <=> x=1 (\frac{1}{2}\leq x\leq 3)[/tex]
b, [tex](x+y)(x+2y)=x+5\\\\ <=> x^2+3xy+2y^2-x-5=0\\\\ <=> 4x^2+12xy+8y^2-4x-20=0\\\\ <=> (4x^2+12xy+9y^2-4x+1-6y)-(y^2+6y+9)=12\\\\ <=> (2x+3y-1)^2-(y+3)^2=12\\\\ <=> (2x+3y-1-y-3).(2x+3y-1+y+3)=12\\\\ <=> (2x+2y-4).(2x+4y+2)=12\\\\ <=> (x+y-2).(x+2y+1)=3[/tex]
dễ rồi....
bài 3:
1, [tex]S= 1.2.3 +2.3.4+...+n(n+1)(n+2)\\\\ => 4S=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+...+n.(n+1).(n+2).[n+3-(n-1)]\\\\ =1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-...-(n-1).n.(n+1).(n+2)+n.(n+1).(n+2).(n+3)\\\\ =n.(n+1).(n+2).(n+3)\\\\ => 4S+1=(n^2+n).(n^2+5n+6)+1\\\\ =n^4+n^3+5n^3+5n^2+6n^2+6n+1\\\\ =n^4+6n^3+11n^2+6n+1\\\\ =n^4+9n^2+1+6n^3+6n+2n^2\\\\ =(n^2+3n+1)^2[/tex]
2, @@ đề sai... ngược dấu rồi....
[tex]+, \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y).(x+z)}}\\\\ \leq \frac{x}{x+\sqrt{(\sqrt{xz}+\sqrt{xy})^2}}=\frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\\\\ =\frac{x}{\sqrt{x}.(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}[/tex]
(áp dụng Binhiacopxkia.... chứng minh tương tự cộng các vế có đpcm)
bài 4: [tex]\frac{x}{1+x}+\frac{2y}{1+y} = 1\\\\ <=> x+xy+2y+2xy=x+y+xy+1\\\\ <=> y+2xy=1\\\\ => 1=y.(2x+1)\geq y.(2\sqrt{2x})\\\\ => 1\geq y^2.8x => xy^2\leq \frac{1}{8}[/tex]
dấu "=" <=> x=1/2 thay vào ra y...
bài 5:
gọi E là điểm đối xứng của C qua A
=> AB=AC=AE => tam giác EBC vuông tại B
áp dụng hệ số lượng giác có:
[tex]BC^2=CM.CE=CM.2AC => CM=\frac{BC^2}{2AC}\\\\ => AM=AC-MC=AC-\frac{BC^2}{2AC}=\frac{2AC^2-BC^2}{2AC}\\\\ => \frac{AM}{MC}=\frac{2AC^2-BC^2}{2AC}.\frac{2AC}{BC^2}=\frac{2AC^2}{BC^2}-1\\\\ => \frac{AM}{MC}+1=2.(\frac{AC}{BC})^2=2.(\frac{AB}{BC})^2[/tex]

 

[ankhongu]

Mình có một chút thay đôi thôi nha
2
a)
PT <-> [tex]4\sqrt{2x - 1} + 2\sqrt{x + 3} - 2\sqrt{5x + 11} = 0 \Leftrightarrow (4\sqrt{2x - 1} - \sqrt{5x + 11}) + (2\sqrt{x + 3} - \sqrt{5x + 11}) = 0[/tex]

Đến đây nếu ta liên hợp thì sẽ có x = 1 và phần trong ngoặc khác 0, nhanh hơn đó