Đề thi hsg toán 10

[vipboycodon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1 ( 3 điểm) : Giải phương trình: $\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}} = \sqrt{2(x^3+1)}$

Câu 2 ( 3 điểm) : Giải bất phương trình: $(x-\dfrac{2x+4}{2x-5})\sqrt{10x-3x^2-3} \ge 0$

Câu 3 (3 điểm) : Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3-8x = y^3+2y \\ x^2-3y^2 = 6 \end{cases}$

Câu 4 (2 điểm): Giải phương trình lượng giác: $\dfrac{b}{\cos B}+\dfrac{c}{\cos C} = \dfrac{a}{\sin B.\sin C}$

Câu 5 (3 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và điểm $M(5;\dfrac{5}{2})$ là trung điểm của BC. Đường thẳng BN ( với N là trung điểm CD ) có phương trình là $2x-y-6 = 0$. Tìm tọa độ của A và B biết B có hoành độ nhỏ hơn 4

Câu 6 (3 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d): $x-y+2 = 0$ và đường tròn (C): $x^2+y^2-2x+4y-4 = 0$. Gọi I là tâm của đường tròn (C) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho qua M kẻ các tiếp tuyến MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm) và diện tích tứ giác MAIB bằng $6\sqrt{2}$

Câu 7 (3 điểm): Cho x,y là các số thực thỏa mãn $x+y+xy = 8$. Tìm GTNN của $P = x^2+y^2$

Đề mình mới thi sáng nay , các bạn làm thử xem được 20 điểm không nhé =))

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. DKXD: $x\ge 1$
Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:
$\sqrt{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}\le \sqrt{4x}\le \sqrt{2(x^3+1)}$
Do đó $x=1$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2. $10-3x^2-3\ge 0$ nên $\dfrac{1}{3}\le x\le 3$
Bất phương trình tương đương với $\dfrac{(2x+1)(x-4)\sqrt{10x-3x^2-3}}{2x-5}\ge 0$
hay $\dfrac{\sqrt{10x-3x^2-3}}{2x-5}\le 0$
Do đó $x=3, \dfrac{1}{3}\le x\le \dfrac{5}{2}$
Bài 3. Ta có $3(x^3-y^3)=6(4x+y)=(x^2-3y^2)(4x+y)$
Giải ra ta được $x=-4y, x=0$ hoặc $x=3y$
Thay từng trường hợp.

 

[lp_qt]

âu 5 (3 điểm) : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD và điểm $M(5;5/2)$ là trung điểm của BC. Đường thẳng BN ( với N là trung điểm CD ) có phương trình là $2x−y−6=0$. Tìm tọa độ của A và B biết B có hoành độ nhỏ

• Chứng minh được $ AM \bot BN$

$H=AM \cap BN$ Tìm được tọa độ H

•$BM=x \Longrightarrow AB=2x \Longrightarrow AM= x\sqrt{5}$

khi đó $MH=\dfrac{\sqrt{5}}{5}x \Longrightarrow MH=\dfrac{1}{5}AM$

$\Longrightarrow \vec{AM}=5.\vec{HM}$ tìm được A

• $B \in BN; \vec{BM}.\vec{AM}=0$ tìm được B

 

[lp_qt]

Câu 6

$(C)$ có tâm $I(1;-2) ;R =3$

$S_{IABM}=IA.AM=3.AM=6\sqrt{2} \Longrightarrow AM=2\sqrt{2} \Longrightarrow IM=\sqrt{17}$

$M \in d ; IM=\sqrt{17}$ tìm được $M$

 

[lp_qt]

Câu 4

theo mình đề bài là xác định hình dạng tam giác

$\dfrac{b}{cosB}+\dfrac{c}{cosC}=\dfrac{a}{sinB.sinC} \Longleftrightarrow \dfrac{b.cosC+c.cosB}{cosB.cosC}=\dfrac{a}{sinB.sinC} \Longleftrightarrow cosC.cosB=sinB.sinC \Longleftrightarrow cos(B+C)+cos(B-C)=cos(B-C)-cos(B+C) \Longleftrightarrow cos(B+C)=0 \Longleftrightarrow cosA=0 \Longleftrightarrow A=90^o$

 

[vipboycodon]

theo mình đề bài là xác định hình dạng tam giác

$\dfrac{b}{cosB}+\dfrac{c}{cosC}=\dfrac{a}{sinB.sinC} \Longleftrightarrow \dfrac{b.cosC+c.cosB}{cosB.cosC}=\dfrac{a}{sinB.sinC} \Longleftrightarrow cosC.cosB=sinB.sinC \Longleftrightarrow cos(B+C)+cos(B-C)=cos(B-C)-cos(B+C) \Longleftrightarrow cos(B+C)=0 \Longleftrightarrow cosA=0 \Longleftrightarrow A=90^o$

Cái đề thi đưa cô rồi nên ghi nhầm , đề là chứng minh trong tam giác có 1 góc bằng 90 độ.

 

[anhnhduc001]

Câu 7:
Ta có:
$x^2+4$\geq4x
$y^2+4$\geq4y
$x^2+x^2+y^2+y^2$\geq4xy
Cộng từng vế suy ra 3P\geq4(x+y+xy)-8
=>P\geq8 \Leftrightarrow x=y=2

 

[forum_]

• Chứng minh được $ AM \bot BN$

$H=AM \cap BN$ Tìm được tọa độ H

•$BM=x \Longrightarrow AB=2x \Longrightarrow AM= x\sqrt{5}$

khi đó $MH=\dfrac{\sqrt{5}}{5}x \Longrightarrow MH=\dfrac{1}{5}AM$

$\Longrightarrow \vec{AM}=5.\vec{HM}$ tìm được A

• $B \in BN; \vec{BM}.\vec{AM}=0$ tìm được B

$\vec{BM}.\vec{AM}=0$

NOT TRUE