Đề thi hsg tỉnh 9

[agito000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y nguyên khác 1 thoả mãn [tex]\frac{x^2-1}{y+1}+\frac{y^2-1}{x+1}[/tex] nguyên.Cmr [tex]x^2y^{22}-1[/tex] chia hết cho x+1

 

[minhtuyb]

Đặt [TEX]\frac{x^2-1}{y+1}=\frac{a}{b};\frac{y^2-1}{x+1}=\frac{c}{d}(a,b,c,d\in Z;b,d\neq 0; (a;b)=(c;d)=1[/TEX]
Có: [TEX]\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=k\in Z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{ad+bc}{bd}=k[/TEX]
[TEX]\Rightarrow ad+bc=kbd[/TEX]
Có: [TEX]ad\vdots d;kbd\vdots d\Rightarrow bc\vdots d[/TEX](T/c chia hết của tổng)
Mà [TEX](c;d)=1\Rightarrow b\vdots d(1)[/TEX]
C/m tương tự, có: [TEX]ad\vdots b\Rightarrow d\vdots b(2)[/TEX]
-Từ (1) và (2)[TEX]\Rightarrow b=d[/TEX]
-Xét tích:
[TEX]\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{x^2-1}{y+1}.\frac{y^2-1}{x+1}=(x-1)(y-1)=p\in Z[/TEX](Vì [TEX]x,y\in Z[/TEX])
[TEX]\Rightarrow ac=pbd[/TEX]
Có: [TEX]bdc\vdots b\Rightarrow ac\vdots b[/TEX]. Mà [TEX](a;b)=1\Rightarrow c\vdots b[/TEX]
-Từ và [TEX]\Rightarrow c\vdots d\Rightarrow y^2-1\vdots x+1[/TEX]
Suy ra: [TEX]x^2y^{22}-1=x^2y^{22}-x^2+x^2-1[/TEX]
[TEX]=x^2(y^{22}-1)+(x-1)(x+1)[/TEX]
Dễ thấy tổng trên chia hết cho [TEX]x+1[/TEX] vì [TEX]y^{22}-1\vdots y^2-1\vdots x+1[/TEX]