Đề thi HSG thành phố Hải Phòng ( 15/4/2011)

[hoangkute96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Hai bài khó nhất nè :

1> Cho tứ giác ABCD . O là giao điểm 2 đường chéo . Gọi H và K lần lượt là trực tâm [tex]\large\Delta[/tex]OAB và
[tex]\large\Delta[/tex] COD . OH cắt AB tại E . BH cắt AC tại N . Chứng minh rằng :
a>
[tex]\frac{OH}{OK}[/tex] = [TEX]\frac{AB}{CD}[/TEX]

b> Đường thẳng HK vuông góc với đường thẳng nối 2 trực tâm của
[tex]\large\Delta[/tex] AOD và [tex]\large\Delta[/tex] BOC

2> Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn : a+b+c =3 . Chứng minh rằng :
[tex]\frac{a}{1+b^2c}[/tex] +[TEX]\frac{b}{1+c^2a}[/TEX] +[TEX]\frac{c}{1+a^2b[/TEX]\geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

 

[conami]

Hai bài khó nhất nè :

1> Cho tứ giác ABCD . O là giao điểm 2 đường chéo . Gọi H và K lần lượt là trực tâm [tex]\large\Delta[/tex]OAB và
[tex]\large\Delta[/tex] COD . OH cắt AB tại E . BH cắt AC tại N . Chứng minh rằng :
a>
[tex]\frac{OH}{OK}[/tex] = [TEX]\frac{AB}{CD}[/TEX]

Bổ đề: Tam giác ABC trực tâm H nội tiếp (O). CHứng minh khoảng cách từ A đến trực tâm H bằng 2 lần khoảng cách từ tâm O đến BC (Chứng minh đơn giản)
Gọi P,Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB và OCD
Việc chứng minh [TEX]\frac{OH}{OK} = \frac{AB}{CD}[/TEX] bây giờ chuyển thành việc chứng minh 2 tam giác APB và DQC đồng dạng (cái này đơn giản vì đâ là 2 tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau)

 

[khanh_ndd]

2> Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn : a+b+c =3 . Chứng minh rằng :
[tex]\frac{a}{1+b^2c}[/tex] +[TEX]\frac{b}{1+c^2a}[/TEX] +[TEX]\frac{c}{1+a^2b[/TEX]\geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

dùng AM-GM ngược dấu
[TEX]\frac{a}{1+b^2c}=a-\frac{ab^2c}{1+b^2c}\geq a-\frac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}=a-\frac{ab\sqrt{c}}{2}\geq a-\frac{b\sqrt{a.ac}}{2}\geq a-\frac{b(a+ac)}{4}[/TEX]
làm tương tự [TEX]\Rightarrow VT\geq (a+b+c)-\frac{ab+bc+ca+3abc}{4}[/TEX]
theo AM-GM [TEX]ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3};3abc\leq 3(\frac{a+b+c}{3})^3 \Rightarrow[/TEX] đpcm
dấu = khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]

 

[duynhan1]

2> Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn : a+b+c =3 . Chứng minh rằng :
[tex]\frac{a}{1+b^2c}[/tex] +[TEX]\frac{b}{1+c^2a}[/TEX] +[TEX]\frac{c}{1+a^2b[/TEX]\geq[TEX]\frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]gt \Rightarrow abc \le 1 [/TEX]
[TEX]VT \ge \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+ abc(a+b+c)} \ge \frac{9}{6} = \frac32 [/TEX]

 

[hoangkute96]

Chưa ai làm được câu 1b> à ?

Post thêm 2 câu nữa ko khó lắm :

3 .
a> Giả sử [tex] x_1[/tex] ; [tex] x_2[/tex] là 2 nghiệm của pt : [tex] x^2-ax+1=0 [/tex] .
Tính [tex] S_7 [/tex] = [tex] x_1^7+x_2^7 [/tex] theo a .
b> Tìm đa thức bậc 7 với các hệ số nguyên nhận x= [tex]\sqrt[7]{\frac{3}{5}}[/tex] +[tex]\sqrt[7]{\frac{5}{3}}[/tex]
làm nghiệm .

4> Cho [tex]\large\Delta[/tex] ABC cân tại A .[tex] \hat{B} =\hat{C}=50^o [/tex] . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho [tex] \widehat{CAD}=30^o [/tex]. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho [tex] \widehat{ABE}=30^o [/tex]. Gọi I là giao điểm của AD và BE .
Chứng minh [tex]\large\Delta[/tex] IDE cân .

P/s : Ai làm được cả 4 câu đã post trên là được 8 điểm rùi đấy !