Đề thi HSG lớp 9

[severussnape1512]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho tam giác nhọn ABC có BC=a, AB=c, AC=b. Chứng minh:
a) [TEX]sinA/2\leq\frac{a}{b+c}[/TEX]
b) (sinA/2). (sinB/2). (sinC/2)[TEX]\leq\frac{1}{8}[/TEX]
2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì số
a) B=111...1-222...2 là một số chính phương ( với 2n số 1 và n số 2)
b) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biêu thức sau là số nguyên tố: [TEX]12n^2 -5n-25[/TEX]
3) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì [TEX]n^2+n+1[/TEX] không chia hết cho 9
Rút gọn phân số [TEX]\frac{1+2+2^2+2^3+...+2^2009}{2^2011-2}[/TEX]

 

[hien_vuthithanh]

1b.$$sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2}+sin\dfrac{\pi }{6}$$

$$=2.sin\dfrac{A+B}{4}.cos\dfrac{A-B}{4}+2sin(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi }{12}).cos(\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi }{12})$$

$$\le 2.sin\dfrac{A+B}{4}+2.sin(\dfrac{C}{4}+\dfrac{\pi }{12})=4.sin(\dfrac{A+B+C}{8}+\dfrac{\pi }{24}).cos(\dfrac{A+B-C}{12}-\dfrac{\pi }{24})$$

$$\le 4.sin(\dfrac{\pi }{8}+\dfrac{\pi }{24})=4.sin\dfrac{\pi }{6}$$

$$\rightarrow sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2} \le 3.sin\dfrac{\pi }{6}=\dfrac{3}{2}$$

Lại có : $$sin\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{B}{2}.sin\dfrac{C}{2} \le (\dfrac{sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2})}{3})^3 \le (\dfrac{\dfrac{3}{2}}{3})^3=\dfrac{1}{8}$$

 

[eye_smile]

3,

$n=3k$ \Rightarrow $BT=9k^2+3k+1$ không chia hết cho 9

$n=3k+1$ \Rightarrow $BT=9k^2+9k+3$ không chia hết cho 9

$n=3k+2$ \Rightarrow $BT=9k^2+15k+7$ không chia hết cho 9

\Rightarrow đpcm.

 

[lp_qt]

$$ sin\dfrac{A}{2}\le \dfrac{a}{b+c} \iff sin\dfrac{A}{2} \le \dfrac{sinA}{sinB+sinC}

\iff sin\dfrac{A}{2} \le \dfrac{2.sin\dfrac{A}{2} .cos\dfrac{A}{2} }{2.sin\dfrac{B+C}{2}.cos\dfrac{B-C}{2} }

\iff cos\dfrac{B-C}{2} \le 1(lđ)$$

$\rightarrow đpcm$

 

[soccan]

$2a)\\
\underbrace{11..11}=a\\
\longrightarrow B=a(9a+1)+a-2a=9a^2$