Đề thi HSG lớp 9 cấp huyện Tuy Phước, Bình Định

[lykkenaturligsen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

PHÒNG GD-ĐT TUY PHƯỚC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM 2012-2013
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian phát đề)
​

Bài 1: (5 điểm)
1. Cho phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Chứng minh rằng phân số sau cũng tối giản:

$\dfrac{ab}{a^2 + b^2}$.​

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$x^3 + y^3 - 6xy + 8 = 0$.​

Bài 2: (5 điểm)
1. Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoã mãn:

$a - b = \sqrt{1 - b^2} - \sqrt{1 - a^2}$.​

Chứng minh rằng:

$a^2 + b^2 = 1$.​

2. Giải phương trình:

$4x^2 + 14x + 11 = 4\sqrt{6x + 10}$.​

Bài 3: (3 điểm)
Cho các số thực a, b, c dương. Chứng minh rằng:

$\dfrac{(a + b)^2}{ab} + \dfrac{(b + c)^2}{bc} + \dfrac{(c + a)^2}{ca}$ \geq $9 + 2(\dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + a} + \dfrac{c}{a + b})$.​

Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:

Sin$\dfrac{A}{2}$ \leq $\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}$.​

Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB, AC. Một đường thằng d quay xung quanh điểm A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự tại M, N (khác A). Xác định hai điểm M, N sao cho chu vi tứ giác BCNM lớn nhất.

-----------------------------​

 

[madridista2602]

Bài 4: Ax là p/g của góc BAC, dựng BM vuông góc với Ax, Cn vuông góc với Ax
từ tam giác AMB và ANC => sin(MAB) = sin(A/2)= BM/AB => BM=c sin(A/2)
sin(NAC) = sin(A/2) = CN/AC => CN= b sin(A/2)
=> BM+CN=(b+c) sin(A/2)
lại có BM+CN <= BD+DC=BC=a
=>(b+c) sin(A/2) <= a
lại có b+c>= 2√bc => 1/(b+c) <= 1/(2√bc)
=> sin(A/2) <= a/(2√bc)

 

[lebalinhpa1]

Cái này chưa ai giải , mong mọi người giải giúp đề thi này với nha !
Thanks

 

[nguyenbahiep1]

2. Giải phương trình:

$4x^2 + 14x + 11 = 4\sqrt{6x + 10} \\ \\ dk: 4x^2+14x+11 \geq 0 \\ \\ (4x^2+14x+11)^2 = 16(6x+10) \\ \\ \Leftrightarrow (4x^2+6x-1)(4x^2+22x+39) = 0 \Rightarrow x = ? $

 

[huynhbachkhoa23]

Giờ chỉ nghĩ tới hình )

Bài 5:

Dễ chứng minh $BMNC$ là hình thang vuông tại $M,N$

$(MN+BM+CN+BC)_{max} \leftrightarrow (MB+CN+MA+AN)_{max}$

Theo Cauchy-Schwarz:

$MB+MA \le \sqrt{2(MB^2+MA^2)}=\sqrt{2}AB$

$NC+AN \le \sqrt{2(NC^2+AN^2)}=\sqrt{2}AC$

Suy ra $MN+BM+CN+BC \le \sqrt{2}(AB+AC)+BC = \text{const}$

Đẳng thức xảy ra khi $M, N$ là điểm chính giữa hai nửa đường tròn

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:

Kẻ phân giác $AD$ và đường cao $AH$ và ta có $AD \ge AH$

$2S_{ABC}=2S_{ABD}+2S_{ADC}=\sin \dfrac{A}{2}.AD(AB+AC)$

Suy ra $\sin \dfrac{A}{2}=\dfrac{BC.AH}{AD.(AB+AC)} \le \dfrac{BC}{2\sqrt{AB.AC}}=\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}$

Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$ cân tại $A$

 

[vipboycodon]

Bài 2:
$a-b = \sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}$
<=> $a+\sqrt{1-a^2} = b+\sqrt{1-b^2}$
<=> $a^2+2a\sqrt{1-a^2}+1-a^2 = b^2+2b\sqrt{1-b^2}+1-b^2$
<=> $2a\sqrt{1-a^2} = 2b\sqrt{1-b^2}$
<=> $a\sqrt{1-a^2} = b\sqrt{1-b^2}$
<=> $a^2(1-a^2) = b^2(1-b^2)$
<=> $a^2-a^4 = b^2-b^4$
<=> $a^2-b^2 = a^4-b^2$
<=> $(a-b)(a+b) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2)$
<=> $a^2+b^2 = 1$ (đpcm)

 

[lebalinhpa1]

Bài 3 :
$\frac{(a+b)^2}{ab}$ + $\frac{(b+c)^2}{bc}$ + $\frac{(c+a)^2}{ca}$ = 6 + ($\frac{(a}{b}$ + $\frac{(b}{a}$) + ($\frac{(b}{c}$ + $\frac{(c}{b}$) + ($\frac{(c}{a}$ + $\frac{(a}{c}$)

= 6 + $\frac{(1}{2}$ ($\frac{(a}{b}$ + $\frac{(1}{2}$ $\frac{(b}{a}$) + $\frac{(1}{2}$ ($\frac{(b}{c}$ + $\frac{(c}{b}$) + ($\frac{(c}{a}$ + $\frac{(a}{c}$) + $\frac{(1}{2}$ ($\frac{(a}{b}$ + $\frac{(1}{2}$ $\frac{(b}{a}$) + $\frac{(1}{2}$ ($\frac{(b}{c}$ + $\frac{(c}{b}$) + ($\frac{(c}{a}$ + $\frac{(a}{c}$)

= 6 + $\frac{(1}{2}$ ($\frac{(a}{b}$ + $\frac{(1}{2}$ $\frac{(b}{a}$ + $\frac{(1}{2}$ $\frac{(b}{c}$ + $\frac{(c}{b}$ + $\frac{(c}{a}$ + $\frac{(a}{c}$) + 1/2 a (1/b + 1/c) + 1/2 b(1/a + 1/c ) + 1/2c (1/a + 1/b )

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy biến đổi=> đpcm

 

[huyenjinsim12]

Cấu 1a:Ta có a/b tối giản. Gọi (a;b)=d => a+b chia hết cho d và ab chia hết cho d. Ta lại có a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab chia hết cho d (do a+b và ab chia hết cho d) => (ab;a^2+b^2)=d => ab/a^2+b^2 tối giản