de thi hsg kho ve bdt nek

[mzmxmcmvmbmnmm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, cho a,b,c là các số thực dương và $a^2+b^2+c^2=9$
CMR: $2(a+b+c)-abc \le 10$
2, CMR nếu x,y,z>0 thi
$\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z} \ge 4(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y})$
3,cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn $a+b+c=1$.
CMR:$5(a^2+b^2+c^2)\le 6(a^3+b^3+c^3)+1$
4,cho a,b,c la các số thực dương
CMR:$(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c})\ge\dfrac{9}{1+abc}$

 

[angleofdarkness]

2/

Áp dụng BĐT Cauchy dạng cộng mẫu số cho 2 số dương x và y $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ \geq $\dfrac{4}{x+y}$

\Rightarrow $\dfrac{z}{x}+\dfrac{z}{y}$ \geq $\dfrac{4z}{x+y}$

Tương tự có $\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{z}$ \geq $\dfrac{4x}{y+z}$ và $\dfrac{y}{z}+\dfrac{y}{x}$ \geq $\dfrac{4y}{z+x}$

Cộng theo vế vào ta đc đpcm.

Dấu = xảy ra khi x = y = z > 0

 

[angleofdarkness]

1/

Ta có ${\left( {x\left( {2 - yz} \right) + 2\left( {y + z} \right)} \right)^2} \le \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2yz} \right)\left( {{{\left( {yz} \right)}^2} - 4yz + 8} \right) = \left( {9 + 2yz} \right)\left( {{{\left( {yz} \right)}^2} - 4yz + 8} \right)$

Cần chứng minh $\left( {9 + 2yz} \right)\left( {{{\left( {yz} \right)}^2} - 4yz + 8} \right) \le 100$ \Leftrightarrow ${\left( {bc + 2} \right)^2}\left( {2bc - 7} \right) \le 0$

Giả sử $\left| {bc} \right| = \min \left\{ {\left| {ab} \right|,\left| {bc} \right|,\left| {ca} \right|} \right\}$.

Nên $\left| {bc} \right| \le \sqrt[3]{{\left| {ab} \right|\left| {bc} \right|\left| {ca} \right|}} \le \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3} = 3$

Từ đây có ngay đpcm.

Nguồn: VMF và Moon