Đề thi hsg huyện Triệu Sơn Tỉnh Thanh Hóa

[braga]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho biểu thức: $P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\right)$
1. Rút gọn biểu thức $P$
2. Chứng minh rằng $P>0$ với mọi $x$ để $P$ có nghĩa.

Câu 2:
1. Giải phương trình: $x^2+2=2\sqrt{x^3+1}$
2. Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $x^2+x+2y^2+y=2xy^2+xy+3$
Câu 3:
1. Cho $a,b$ là 2 số thực dương. CMR: $\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{a^2}}\ge 2\sqrt{2}$
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lẻ p đều không tồn tại số nguyên dương m,n sao cho : $\dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}$
Câu 4: Cho đoạn thẳng $AB=2a$ . Gọi O là trung điểm của AB. Dựng các tia Ax, By về cùng 1 phía của AB sao cho Ax, By lần lượt vuông góc với AB. Trên Ax lấy điểm C , trên By lấy điểm D sao cho $\widehat{COD}=90^o$.
1. Chứng minh $AC.BD=a^2$
2. Chứng minh $CD=AC+BD$
3. Kẻ $OM\perp CD$ tại M, $AD\bigcap_{}^{} BC=N$. Chứng minh $MN//AC$
Câu 5: Cho các số thực x,y,z thoả mãn $x>\dfrac{1}{3};y>\dfrac{1}{2};z>1$ và $\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z}\ge 2$
Tìm giá trị lớn nhất của $A=(3x-1)(2y-1)(z-1)$

p/s: đề này dễ

 

[congchuaanhsang]

Ngắn hơn đề huyện em nhưng có lẽ khó hơn

Chém luôn bài khó nhất

$\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z}$\geq2

\Rightarrow$\dfrac{3x-1}{3x+2}+\dfrac{2y-1}{2y+1}+\dfrac{z-1}{z}$\leq1

Đặt 3x-1=a ; 2y-1=b ; z-1=c\Rightarrowa,b,c>0

Ta cần tìm max của abc

$\dfrac{a}{a+3}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+1}$\leq1

\Leftrightarrow$2abc+ab+2ac+3bc$\leq6

Áp dụng Cauchy $ab+2ac+3bc$\geq$3\sqrt[3]{6a^2b^2c^2}$

\Rightarrow$2abc+3\sqrt[3]{6a^2b^2c^2}-6$\leq0

Giải phương trình bậc 3 ta được $\sqrt[3]{abc}$\leq$\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}$

\Leftrightarrowabc\leq$\dfrac{3}{4}$

Vậy $A_{max}$=$\dfrac{3}{4}$\Leftrightarrowx=$\dfrac{5}{6}$ ; y=1 ; $z=\dfrac{3}{2}$



@braga: anh nghĩ là dễ hơn bé tưởng, chỉ cần $Cauchy-Schwarz$ cho cái đk, rồi $Cauchy$ $A$ là dc mà !!!

 

[passivedefender]

Đề cũng bình thường. Chém bài kỳ quặc nhất.
Câu 3)2.
[tex]\frac{1}{p}=\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}} \Rightarrow p=\frac{m^{2}n^{2}}{m^{2}+n^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow pm^{2}+pn^{2}=m^{2}n^{2} \Rightarrow pm^{2}-m^{2}n^{2}-p^{2}+pn^{2}=-p^{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow m^{2}(p-n^{2})-p(p-n^{2})=-p^{2} \Rightarrow (m^{2}-p)(n^{2}-p)=p^{2}=1p^{2}=p^{2}.1=pp[/tex]
Xét từng trường hợp là ra.
@congchua:Bài này phản chứng mà
Hơn nữa đề này là đề khó. Phải thuộc loại khá cứng may ra mới làm tạm ổn

 

[passivedefender]

Đề này cũng bình thường mà? Thuộc loại trung bình cứng là làm tạm ổn rồi. Giải tiếp này, đang phản chứng đó.
*[tex]m^{2}-p=1 \Rightarrow (m-1)(m+1)=p[/tex] là số nguyên tố mà [tex]m-1<m+1 \Rightarrow m-1=1 \Rightarrow m=2 \Rightarrow p=3[/tex] mà [tex]n^{2}-p=p^{2} \Rightarrow n^{2}=12[/tex] (vô lý)
*[tex]n^{2}-p=1[/tex] tương tự cũng dẫn tới điều vô lý
*[tex]m^{2}-p=n^{2}-p=p \Rightarrow m=n \Rightarrow \frac{1}{p}=\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}=\frac{2}{m^{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow m^{2}=2p[/tex]
Nếu [tex]p=m[/tex] thì [tex]p=m=n=2[/tex] mà [tex]p[/tex] là số nguyên tố lẻ [tex]\Rightarrow[/tex] vô lý
Nếu [tex]p \neq m[/tex] thì [tex](p,m)=1 \Rightarrow m \vdots 2 \Rightarrow m=2k \Rightarrow m^{2}=4k^{2}=2p[/tex]
[tex]\Rightarrow 2k^{2}=p \vdots 2[/tex] mà [tex]p[/tex] là số nguyên tố lẻ [tex]\Rightarrow[/tex] vô lý
Từ những điều trên, ta có đpcm

 

[braga]

Ngắn hơn đề huyện em nhưng có lẽ khó hơn

Chém luôn bài khó nhất

$\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z}$\geq2

\Rightarrow$\dfrac{3x-1}{3x+2}+\dfrac{2y-1}{2y+1}+\dfrac{z-1}{z}$\leq1

Đặt 3x-1=a ; 2y-1=b ; z-1=c\Rightarrowa,b,c>0

Ta cần tìm max của abc

$\dfrac{a}{a+3}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+1}$\leq1

\Leftrightarrow$2abc+ab+2ac+3bc$\leq6

Áp dụng Cauchy $ab+2ac+3bc$\geq$3\sqrt[3]{6a^2b^2c^2}$

\Rightarrow$2abc+3\sqrt[3]{6a^2b^2c^2}-6$\leq0

Giải phương trình bậc 3 ta được $\sqrt[3]{abc}$\leq$\sqrt[3]{\dfrac{3}{4}}$

\Leftrightarrowabc\leq$\dfrac{3}{4}$

Vậy $A_{max}$=$\dfrac{3}{4}$\Leftrightarrowx=$\dfrac{5}{6}$ ; y=1 ; $z=\dfrac{3}{2}$



@braga: anh nghĩ là dễ hơn bé tưởng, chỉ cần $Cauchy-Schwarz$ cho cái đk, rồi $Cauchy$ $A$ là dc mà !!!

$Cauchy-Schwarz$ cho cái đk:
$$\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2}{3x+2y+z+3}\ge 2 \\ \implies 3x+2y+z\le \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2-6}{2}$$
Áp dụng $AM-GM:$
$$A=(3x-1)(2y-1)(z-1)\le \left(\dfrac{3x+2y+z-3}{3}\right)^3$$
Thay $$3x+2y+z\le \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2-6}{2}$$
là xong , Dấu bằng hơi khủng

 

[congchuaanhsang]

$Cauchy-Schwarz$ cho cái đk:
$$\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2}{3x+2y+z+3}\ge 2 \\ \implies 3x+2y+z\le \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2-6}{2}$$
Áp dụng $AM-GM:$
$$A=(3x-1)(2y-1)(z-1)\le \left(\dfrac{3x+2y+z-3}{3}\right)^3$$
Thay $$3x+2y+z\le \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2-6}{2}$$
là xong , Dấu bằng hơi khủng

Dấu "=" xảy ra khi đồng thời

$\dfrac{\sqrt{3}}{3x+2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2y+1} = \dfrac{1}{z}$

và $3x=2y=z$

Mâu thuẫn mà

 

[congchuaanhsang]

2 câu trong đề thi hsg huyện Thiệu Hóa tỉnh Thanh Hóa

1,Cho x,y hữu tỉ và $x^3+y^3=2xy$

Cm $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ
2, Giải phương trình $\sqrt{x^2-4}-x^2+4=0$

 

[congchuaanhsang]

$Cauchy-Schwarz$ cho cái đk:
$$\dfrac{3}{3x+2}+\dfrac{2}{2y+1}+\dfrac{1}{z}\ge \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2}{3x+2y+z+3}\ge 2 \\ \implies 3x+2y+z\le \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2-6}{2}$$
Áp dụng $AM-GM:$
$$A=(3x-1)(2y-1)(z-1)\le \left(\dfrac{3x+2y+z-3}{3}\right)^3$$
Thay $$3x+2y+z\le \dfrac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1\right)^2-6}{2}$$
là xong , Dấu bằng hơi khủng

Từ bước đó đã sai r
Biểu thức đó \geq 2 chứ có = 2 đâu . Không suy ra điều đó được


@braga: anh làm nhầm r