Đề thi HSG huyện Đông Anh (2009-2010)

[251295]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:

- Chứng minh rằng [TEX]n^5-n[/TEX] chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương.

Bài 2: Giải các PT và BPT sau:

a) [TEX]|x-1|-2|x-2|+3|x-3|+|x^2+x+1|=x^2+x+5[/TEX]

b) [TEX]6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0[/TEX]

c) [TEX]\frac{1}{x+4} \leq \frac{1}{x-2}[/TEX]

Bài 3:

- Giải bài toán bằng cách lập PT:

Lúc 7h, Hà rời nhà mình đến nhà Lan với vận tốc 4km/h. Lúc 7h20', Lan cũng rời nhà mình đến nhà Hà với vận tốc 3km/h. Hà gặp Lan trên đường rồi cả hai cùng về nhà Lan. Khi trở về đến nhà, Hà tính rằng quãng đường Hà đã đi dài gấp 4 lần quãng đường Lan đã đi. Tính khoảng cách từ nhà Hà đến nhà Lan?

Bài 4:

Cho hình bình hành ABCD, AC là đường chéo lớn. Vẽ CE vuông góc với AB, E thuộc AB. Vẽ CF vuông góc với AD, F thuộc AD. CMR: [TEX]AB.AE+AD.AF=AC^2[/TEX]

Bài 5:

Cho 5 điểm A,B,C,D,E trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta nối tất cả các cặp 2 điểm trong 5 điểm trên bởi các đoạn thẳng rồi tô màu chúng bởi 1 trong 3 màu: Xanh, Dỏ, Vàng. CMR: Tồn tại 1 đường gấp khúc khép kín có 4 cạnh được tô bởi không quá 2 màu.

Bài 6:

Tìm GTNN của biểu thức [TEX]A=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}[/TEX]

Biết rằng x,y,z là các số dương và [TEX]x^2+y^2+z^2 \leq 3[/TEX]

- Mình làm được 4 bài đại rùi, 2 bài hình còn lại thì làm vớ vẩn

 

[pekuku]

b) [TEX]6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0[/TEX]

[TEX]6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow6x^4+18x^3-13x^3-39x^2+x^2+3x+2x+6=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow6x^3(x+3)-13x^2(x+3)+x(x+3)+2(x+3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(6x^3-13x^2+x+2)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(6x^3-12x^2-x^2+2x-x+2)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(x-2)(6x^2-x-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(x-2)(6x^2-x+2x-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(x-2)(2x-1)(3x+1)=0[/TEX]
vậy x=-3,2,[TEX]\frac{1}{2},\frac{-1}{3}[/TEX]

 

[pekuku]

c) [TEX]\frac{1}{x+4} \leq \frac{1}{x-2}[/TEX]

đk: x#-4,x#2
[TEX]\frac{1}{x+4} \leq \frac{1}{x-2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{x-2-x-4}{(x+4)(x-2)}\leq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{-6}{(x+4)(x-2)}<0[/TEX]
\Rightarrow(x+4)(x-2)>0
suy ra có 2 trường hợp
[TEX]\left{(x+4)>0}\\{(x-2)}>0[/TEX] hoặc [TEX]\left{(x+4)<0\\{(x-2)<0[/TEX]

\Leftrightarrow x>2 hoặc x<-4



đi ăn tối cái đã, xí nữa giải típ

 

[cuncon2395]

Bài 2: Giải các PT và BPT sau:

a) [TEX]|x-1|-2|x-2|+3|x-3|+|x^2+x+1|=x^2+x+5[/TEX]

b) [TEX]6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0[/TEX]

c) [TEX]\frac{1}{x+4} \leq \frac{1}{x-2}[/TEX]

y^2+z^2 \leq 3[/TEX]

]

a) [TEX]|x-1|-2|x-2|+3|x-3|+|x^2+x+1|=x^2+x+5[/TEX]
Nễu x\leq 1

\Rightarrow [TEX]1-x-2(2-x)+3(3-x)+x^2+x+1=x^2+x+5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 1-x-4+2x+9-3x-4=0 \Rightarrow -2x+2=0\Rightarrow x=1(t/m)[/TEX]


Nếu [TEX]1< x < 2 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x-1-2(2-x)+3(3-x)+x^2+x+1=x^2+x+5 [/TEX]
[TEX]\Rightarrow x-1-4+2x+9-3x-4=0 \Rightarrow 0x=0[/TEX]
chon khoảng [TEX] 1<x \leq 2[/TEX]

Nếu [TEX]2\leq x \leq 3[/TEX]
\Rightarrow[TEX]x-1-2(x-2)+3(3-x)+x^2+x+1=x^2+x+5[/TEX]
[TEX]\Rightarrow x-1-2x+4+9-3x-4=0 \Rightarrow -4x+8=0 \Rightarrow x=2(t/m)[/TEX]

Nếu x>3
[TEX]\Rightarrow x-1-2(x-2)+3(x-3)-4=0 \Rightarrow x-1-2x+4+3x-9-4=0 \Rightarrow 2x-10=0 \Leftrightarrow x=5 (t/m)[/TEX]

 

[pekuku]

Bài 4:

Cho hình bình hành ABCD, AC là đường chéo lớn. Vẽ CE vuông góc với AB, E thuộc AB. Vẽ CF vuông góc với AD, F thuộc AD. CMR: [TEX]AB.AE+AD.AF=AC^2[/TEX]

các bạn tự vẽ hình nhé

từ B kẻ BH vuông góc với AC(H thuộc AC)

ta có
[tex]\large\Delta[/tex] ABH [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] ACE (g-g)
\Rightarrow[TEX]\frac{AH}{AE}=\frac{AB}{AC}[/TEX]
\RightarrowAH.AC=AB.AE (1)
ta cũng có:
[tex]\large\Delta[/tex] BHC [TEX]\sim\[/TEX] [tex]\large\Delta[/tex] CFA
\Rightarrow[TEX]\frac{BC}{AC}={HC}{AF}[/TEX]
\RightarrowBC.AF=AC.AH\LeftrightarrowAD.AF=AC.BC(2)
CỘNG (1) và (2) ta có AB.AE+AD.AF=AC(AH+HC)=[TEX]AC^2[/TEX]
có đpcm

thanks nghen

 

[pekuku]

làm nữa

Bài 1:

- Chứng minh rằng [TEX]n^5-n[/TEX] chia hết cho 30 với mọi n nguyên dương.

[TEX]n^5-n=n(n^4-1)[/TEX]
[TEX]=n(n^2-1)(n^2+1)[/TEX]
[TEX]=n(n+1)(n-1)(n^2+1)[/TEX]
[TEX]=n(n+1)(n-1)(n^2-4+5)[/TEX]
[TEX]=n(n+1)(n-1)[(n-2)(n+2)+5][/TEX]
[TEX]=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)[/TEX]
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) là tích của 5 sô nguyên dương liên tiếp nên [TEX]\vdots 30[/TEX]
5n(n-1)(n+1) [TEX]\vdots 30[/TEX] ( vì n(n-1)(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp[TEX]\vdots 6[/TEX]
từ đó suy ra [TEX]=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(n-1)(n+1)[/TEX] [TEX]\vdots 30[/TEX]
hay [TEX]n^5-n[/TEX] [TEX]\vdots 30[/TEX]

 

[vodichhocmai]

Bài 6:
Tìm GTNN của biểu thức [TEX]A=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}[/TEX]

Biết rằng x,y,z là các số dương và [TEX]x^2+y^2+z^2 \leq 3[/TEX]

[TEX]\left{3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\\ A=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\ge \frac{9}{xy+yz+zx}\ge 3[/TEX]

 

[thanhnhat95]

Ai đó giúp em làm bài này đươc không; cho hàm số y=f(x) = 1/2x +5
Tính f(0) ; f(2) ; f(3) ; f(-2) ; f(-10)

 

[huynh_trung]

Ai đó giúp em làm bài này đươc không; cho hàm số y=f(x) = 1/2x +5
Tính f(0) ; f(2) ; f(3) ; f(-2) ; f(-10)

[TEX]f(0) = 0 + 5 = 5[/TEX]
[TEX]f(2) = \frac{2}{2} + 5 = 6[/TEX]
[TEX] f(3) = \frac{3}{2} + 5 = 6,5[/TEX]
[TEX]f(-2) = \frac{-2}{2} + 5 = 4[/TEX]
[TEX]f(-10) = \frac{-10}{2} + 5 = 0[/TEX]

 

[ilovetoan]

Bài 6:

Tìm GTNN của biểu thức [TEX]A=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}[/TEX]

Biết rằng x,y,z là các số dương và [TEX]x^2+y^2+z^2 \leq 3[/TEX]

[TEX]A=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]A=\frac{y}{xyz}+\frac{z}{xyz}+\frac{x}{xyz}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]A=\frac{x+y+z}{xyz}[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]A\geq3\frac{\sqrt[3]{xyz}}{xyz}[/TEX]=[TEX]\frac{3}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}[/TEX]
ta lại có [TEX]3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\leqx^2+y^2+z^2\leq3[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\leq1[/TEX]
\RightarrowA\geq3:1=3

 

[brandnewworld]

[TEX]6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow6x^4+18x^3-13x^3-39x^2+x^2+3x+2x+6=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow6x^3(x+3)-13x^2(x+3)+x(x+3)+2(x+3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(6x^3-13x^2+x+2)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(6x^3-12x^2-x^2+2x-x+2)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(x-2)(6x^2-x-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(x-2)(6x^2-x+2x-1)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(x+3)(x-2)(2x-1)(3x+1)=0[/TEX]
vậy x=-3,2,[TEX]\frac{1}{2},\frac{-1}{3}[/TEX]

Có thể làm cách ngăn hơn: vì x#0 nên ta chia 2 vế pt cho [TEX]x^2[/TEX] rồi phân tích theo kiểu phản đối xứng loại 1.

 

[brandnewworld]

đk: x#-4,x#2
[TEX]\frac{1}{x+4} \leq \frac{1}{x-2}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{x-2-x-4}{(x+4)(x-2)}\leq0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\frac{-6}{(x+4)(x-2)}<0[/TEX]
\Rightarrow(x+4)(x-2)>0
suy ra có 2 trường hợp
[TEX]\left{(x+4)>0}\\{(x-2)}>0[/TEX] hoặc [TEX]\left{(x+4)<0\\{(x-2)<0[/TEX]

\Leftrightarrow x>2 hoặc x<-4

Theo tớ nên dùng bảng xét dấu khúc cuối cho nhanh

 

[pekuku]

Theo tớ nên dùng bảng xét dấu khúc cuối cho nhanh

ở lớp mình có dùng bảng xét dấu
nhưng cô kiu là dùng cái đó dài dòng hơn, trong sách bài tập có bài tương tự vậy đó bạn
mà nếu dùng bảng thì khó kẻ vào đây lắm

 

[thuhang95]

cac bạn ơi giải dùm mình bài 3 đề thi HSG huyện Đông Anh đi
bài đấy hình như đáp án ko được đẹp lắm nên mình sợ bị sai

 

[251295]

Bài 3:

- Giải bài toán bằng cách lập PT:

Lúc 7h, Hà rời nhà mình đến nhà Lan với vận tốc 4km/h. Lúc 7h20', Lan cũng rời nhà mình đến nhà Hà với vận tốc 3km/h. Hà gặp Lan trên đường rồi cả hai cùng về nhà Lan. Khi trở về đến nhà, Hà tính rằng quãng đường Hà đã đi dài gấp 4 lần quãng đường Lan đã đi. Tính khoảng cách từ nhà Hà đến nhà Lan?

- Giải (Theo đề nghị của một số bạn)

- Gọi khoảng cách từ nhà Hà đến nhà Lan là x(km)(ĐK x>0)

- Thì:

- Quãng đường mà Hà đi là: 2x(km)

- Quãng đường mà Lan đi là: [TEX]\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}(km)[/TEX]

- Quãng đường từ nhà Lan đến chỗ gặp nhau là: [TEX]\frac{x}{2}:2=\frac{x}{4}(km)[/TEX]

- Quãng đường từ nhà Hà đến chỗ gặp nhau là: [TEX]x-\frac{x}{4}=\frac{3x}{4}(km)[/TEX]

- Thời gian Lan đi từ nhà Lan đến chỗ gặp nhau là: [TEX]\frac{x}{4}:3=\frac{x}{12}(h)[/TEX]

- Thời gian Hà đi từ nhà Hà đến chỗ gặp nhau là: [TEX]\frac{3x}{4}:4=\frac{3x}{16}(h)[/TEX]

- Mà Hà đi sớm hơn Lan [TEX]20ph=\frac{1}{3}h[/TEX] nên ta có PT:

[TEX]\frac{3x}{16}-\frac{x}{12}=\frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{9x}{48}-\frac{4x}{48}=\frac{16}{48}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 5x=16[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=3,2(km)(TMDK)[/TEX]

- Vậy khoảng cách từ nhà Lan đến nhà Hà là 3,2 km.

 

[nangsommai95]

- Giải (Theo đề nghị của một số bạn)

- Gọi khoảng cách từ nhà Hà đến nhà Lan là x(km)(ĐK x>0)

- Thì:

- Quãng đường mà Hà đi là: 2x(km)

- Quãng đường mà Lan đi là: [TEX]\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}(km)[/TEX]

- Quãng đường từ nhà Lan đến chỗ gặp nhau là: [TEX]\frac{x}{2}:2=\frac{x}{4}(km)[/TEX]

- Quãng đường từ nhà Hà đến chỗ gặp nhau là: [TEX]x-\frac{x}{4}=\frac{3x}{4}(km)[/TEX]

- Thời gian Lan đi từ nhà Lan đến chỗ gặp nhau là: [TEX]\frac{x}{4}:3=\frac{x}{12}(h)[/TEX]

- Thời gian Hà đi từ nhà Hà đến chỗ gặp nhau là: [TEX]\frac{3x}{4}:4=\frac{3x}{16}(h)[/TEX]

- Mà Hà đi sớm hơn Lan [TEX]20ph=\frac{1}{3}h[/TEX] nên ta có PT:

[TEX]\frac{3x}{16}-\frac{x}{12}=\frac{1}{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{9x}{48}-\frac{4x}{48}=\frac{16}{48}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 5x=16[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=3,2(km)(TMDK)[/TEX]

- Vậy khoảng cách từ nhà Lan đến nhà Hà là 3,2 km.

mod xoá hộ em cái,em nhầm.............................................................................