Đề thi hsg cực hay và khó

[lasd45]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1 .Cho biểu thức [TEX]x^2-x-1=0[/TEX]
Tính giá trị của [TEX]Q=\frac{x^6-3x^5+3x^4-x^3+2013}{x^6-x^3-3x^2-3x+2013}[/TEX]
Câu 2 . Giải phương trình [TEX]4\sqrt{2}(x^2+x+1)\sqrt{x^2+1}=3[(x^2+x+1)^2+x^2+1][/TEX]
Câu 3.
Giải hệ phương trình [TEX]\left{\begin{27y^3-3x^2+9y=1}\\{\sqrt{x}+\sqrt{3y}=\sqrt[4]{72(\frac{x^2}{9}+y^2}} )[/TEX]
Câu 4.
Tìm tất cả các số nguyên dương a thõa mãn đẳng thức sau
[TEX]\sqrt{a^2+(2^{a-3}+2^{-a-1})^2}+\sqrt{a^4+2a^2+2}=\sqrt{(a^2+a+1)^2+(1+2^{a-3}+2^{-a-1})^2}[/TEX]
:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS:-SS

 

[vipboycodon]

Câu 2:
Đặt $x^2+x+1 = a$ , $\sqrt{x^2+1} = b$
PT trở thành: $4\sqrt{2}ab = 3(a^2+b^2) \leftrightarrow 3a^2-4\sqrt{2}ab+3b^2 = 0$ (VN)

 

[vipboycodon]

Câu 1:
$\dfrac{x^6-3x^5+3x^4-x^3+2013}{x^6-x^3-3x^2-3x+2013}$

$= \dfrac{(x^2-x)^3+2013}{(x^2-x-1)(x^4+x^3+2x^2+2x)+x^2-x+2013}$

$= 1$

 

[thinhrost1]

CM BĐT phụ sau:

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$

Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}$

$\sqrt{(a^2+a+1)^2+(1+2^{a-3}+2^{-a-1})^2}=\sqrt{a^2+(2^{a-3}+2^{-a-1})^2}+\sqrt{a^4+2a^2+2}=\sqrt{a^2+(2^{a-3}+2^{-a-1})^2}+\sqrt{(a^2+1)^2+1}\geq \sqrt{(a^2+a+1)^2+(1+2^{a-3}+2^{-a-1})^2}$