đề thi HSG cấp huyện

[gaubongf1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Chứng minh rằng số có dạng [tex]n^6-n^4+2n^3+2n^2[/tex] trong đó n thuộc N và n>1 không phải là số chính chính phương.

2/ Cho các số thực dương a, b. Chứng minh bất đẳng thức sau:
[tex]a/b^2 + b/a^2 + 16/(a+b) \geq5(1/a+1/b)[/tex]

3/ Cho tam giác ABC , I là giao điểm của 3 đường phân giác trong trong của tam giác, đường thẳng vuông gọc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt ở M và N. CM rằng
a)AM.BI=AI.IM
b) AM/BN=(AI/BI)^2

4/Cho tam giác ABC, có AB=BC=a, AC=b. Đường phân giác góc a cắt BC tại M. Đường phân giác góc C cắt BA tại N
a)CM : MN//AC
B) Tính MN theo a, b

 

[meomiutiunghiu]

Bài 1
Giả sử số có dạng [TEX]n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2[/TEX] với n thuộc số tự nhiên , n > 1 là số chính phương .
Ta có :[TEX]n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2 [/TEX]
[TEX]= n^2 ( n^4 - n^2 + 2n + 2 ) [/TEX]
[TEX]= n^2 [ n^2 ( n^2 - 1 ) + 2( n + 1 ) ][/TEX]
[TEX]= n^2 [ n^2 ( n - 1 )(n + 1) + 2( n + 1 ) ][/TEX]
[TEX]= n^2 ( n + 1 )( n^3 - n^2 + 2) [/TEX]
[TEX]= n^2 ( n + 1 )( n^3 + n^2 - 2n^2 + 2 )[/TEX]
[TEX]= n^2 ( n + 1 )[ ( n^3 + n^2 ) - ( 2n^2 - 2 ) ][/TEX]
[TEX]= n^2 ( n + 1 )( n + 1 )( n^2 - 2n + 2 )[/TEX]
[TEX]= n^2 ( n + 1 )^2 ( n^2 - 2n + 2 )[/TEX]
Vì theo giả sử [TEX]n^6 - n^4 + 2n^3 + 2n^2[/TEX] là số phương nên
[TEX] n^2 ( n + 1 )^2 (n^2 - 2n + 2)[/TEX] phải là số chính phương
hay [TEX](n^2 - 2n + 2)[/TEX] phải là số chính phương
Vì n > 1 nên [TEX](n - 1)^2 < n^2 - 2n + 2 < n^2[/TEX]
Nhưng giữa 2 số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào ở giữa nên
[TEX]n^2 - 2n + 2[/TEX] không thể là số chính phương
Suy ra điều giả sử là sai
Vậy số có dạng [TEX]n^6-n^4+2n^3+2n^2[/TEX] với n là số tự nhiên ,n>1 không là số chính phương .