đề thi học sinh giỏi

[girl_lovely_2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=4.Tìm giá trị nhỏ nhát của biểu thức: P=a^2/b+c + b^2/a+c + c^2/b+a

Câu 2:Giải phương trình : căn(x-2) + căn (10-x) = x^2 - 12x + 40

Câu 3:Chứng minh rằng : với mọi số nguyên a lẻ thì (a^8 -a^6 -a^4 +a^2) chia hết cho 1152

Câu 4:Cho sin x + cos x = 7/5 (với 0 độ<x<90 độ). Tính tan x

Câu 5: Cho x^2 + y^2+ x^2+t^2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N=(x+z)(y+t)

 

[huynhbachkhoa23]

Bài toán 5:
Ta luôn có $2a^2+2b^2-(a+b)^2=(a-b)^2 \ge \leftrightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)}\ge |a+b|$ với mọi số thực $a,b$
Do đó:
$$N \le |N|=|x+z|.|y+t|\le 2\sqrt{(x^2+z^2)(y^2+t^2)}$$
Ngoài ra với mọi $a,b$ không âm ta luôn có $a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0 \leftrightarrow 2\sqrt{ab}\le a+b$
$$\to 2\sqrt{(x^2+z^2)(y^2+z^2)} \le x^2+y^2+z^2+t^2=1$$
Vậy mà giá trị nhỏ nhất của $N$ bằng $1$ đặt được khi và chỉ khi $x=y=z=t=\dfrac{1}{2}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài toán 1:
Cách 1:
$$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b+c}{4}-a=\dfrac{4a^2-4a(b+c)+(b+c)^2}{4(b+c)}=\dfrac{(2a-b-c)^2}{4(b+c)} \ge 0 \leftrightarrow \dfrac{a^2}{b+c}\ge \dfrac{4a-b-c}{4}$$
Thiết lập các bất đẳng thức tương tự, rồi cộng lại ta được:
$$P \ge \dfrac{4a-b-c}{4}+\dfrac{4b-c-a}{4}+\dfrac{4c-a-b}{4}=\dfrac{a+b+c}{2}=2$$
Cách 2:
Với mọi số thực dương $a,b,x,y$ ta có:
$$\dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}-\dfrac{(a+b)^2}{x+y}=\dfrac{(ay-bx)^2}{xy(x+y)} \ge 0 \leftrightarrow \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y} \ge \dfrac{(a+b)^2}{x+y}$$
Do đó:
$$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{(a+b)^2}{2c+a+b}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}=2$$

Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $2$ đạt được khi và chỉ khi $a=b=c=\dfrac{4}{3}$

 

[hien_vuthithanh]

1/

P=$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+c}$\geq$ \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}$ =$ \dfrac{a+b+c}{2}=2$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài toán 5:
Ta luôn có $2a^2+2b^2-(a+b)^2=(a-b)^2 \ge \leftrightarrow \sqrt{2(a^2+b^2)}\ge |a+b|$ với mọi số thực $a,b$
Do đó:
$$N \le |N|=|x+z|.|y+t|\le 2\sqrt{(x^2+z^2)(y^2+t^2)}$$
Ngoài ra với mọi $a,b$ không âm ta luôn có $a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge 0 \leftrightarrow 2\sqrt{ab}\le a+b$
$$\to 2\sqrt{(x^2+z^2)(y^2+z^2)} \le x^2+y^2+z^2+t^2=1$$
Vậy mà giá trị nhỏ nhất của $N$ bằng $1$ đặt được khi và chỉ khi $x=y=z=t=\dfrac{1}{2}$

Khai triển: $N=xy+yz+zt+tx$
Áp dụng bất đẳng thức được highlight:
$xy\le \dfrac{x^2+y^2}{2}\\
yz\le \dfrac{y^2+z^2}{2}\\
zt\le \dfrac{z^2+t^2}{2}\\
tx\le \dfrac{t^2+x^2}{2}$
Cộng tất cả lại ta được:
$$N\le x^2+y^2+z^2+t^2 =1$$

 

[hien_vuthithanh]

4/

ta có $sin x + cos x =\dfrac{7}{5}$ \Rightarrow $sinx=\dfrac{7}{5}-cosx$
Ta lại có $sin^2x+cos^2x=1 $\Rightarrow $(\dfrac{7}{5}-cosx)^2 +cos^2x=1$
\Rightarrow giải tìm $cosx $ \Rightarrow $sinx$ rồi tính $tanx=\dfrac{sinx}{cosx}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài toán 3: Giả sử $a=2k+1$ với $k\in \mathbb{N}$ (Không cần xét $a<0$)
$$a^8-a^6-a^4+a^2=2.4.k^2(2k+1)^2(2k+2)^2(2k^2+2k+1)$$
Thấy rằng $2k(2k+2) \equiv 0\pmod{4} \to 2.4k^2(2k+2)^2 \equiv 0\pmod{128}$
Ngoài ra $2k(2k+1)(2k+2)\equiv 0\pmod{3} \to 4k^2(2k+1)^2(2k+2)^2 \equiv 0\pmod{9}$
Suy ra điều phải chứng minh.