Đề thi học sinh giỏi

[minhduc_nguyen]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho hình thoi ABCD, cạnh a, có $\{BAC}$ = 60 độ. một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.
a, Chứng minh rằng $BM.DN$=$BD^2$ Từ đó suy ra BM.DN có giá trị không đổi.
b, Gọi K là giao điểm BM và DM. Tính $\{BKD}$
2. a. Chứng minh rằng $-x^3 + x^2 \le \frac{1}{4}$ với 0 \leq x \leq 1
b. Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2 + y^2 + 5x^2y^2 + 60 = 37xy$

 

[vipboycodon]

2a.
Từ giả thiết => $x \ge x^2$ => $x^2-x \le 0$ => $x^2-x+1 \le 1$
Ta có : $-x^3+x^2 = x^2(1-x) \le \dfrac{(x^2-x+1)^2}{4} \le \dfrac{1}{4}$

 

[congchuaanhsang]

2b, Phương trình đã cho tương đương với

$x^2+y^2+5x^2y^2-37xy=-60$

\Leftrightarrow$(x^2+2xy+y^2)+5(x^2y^2-\dfrac{39}{5}xy+\dfrac{1521}{100})=\dfrac{321}{20}$

\Leftrightarrow$(x+y)^2+5(xy-\dfrac{39}{10})^2=\dfrac{321}{20}$

\Leftrightarrow$20(x+y)^2+(10xy-39)^2=321$

Nên $(10xy-39)^2$\leq321

\Rightarrow$(10xy-39)^2$ $\in$ {0;1;4;9;16}

Mà $(10xy-39)^2$ chia 10 dư 1

\Rightarrow$(10xy-39)^2=1$
...........................................................................

 

[congchuaanhsang]

1. Cho hình thoi ABCD, cạnh a, có $\{BAC}$ = 60 độ. một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.
a, Chứng minh rằng $BM.DN$=$BD^2$ Từ đó suy ra BM.DN có giá trị không đổi.
b, Gọi K là giao điểm BM và DM. Tính $\{BKD}$

Bạn coi lại đề bài này đi. BM và DM làm sao có giao điểm thứ 2 được