Đề thi học sinh giỏi TPHCM 07-08

[tiger3323551]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

GIỎI TOÁN TP HỒ CHÍ MINH
LỚP 12 THPT NĂM 2007-2008
THỜI GIAN: 180 PHÚT

Câu 1.(5 điểm) Cho hàm số:[tex]y = \frac{{x^2 - 2x + 2}}{{x - 1}}[/tex]

1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
3) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C). Tiếp tuyến tại 1 điểm M bất kì của (C) cắt 2 đường tiệm cận tại P và Q. CMR: tam giác IPQ có diện tích không đổi.

Câu 2.(4 điểm)
1) Trong mp toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng:
[tex](d_1 ) : (2m + 6)x + (4m - 2)y - 7m = 0 \\ (d_2 ) : (6m - 3)x - (3m + 9)y - 4m - 5 = 0 [/tex]
a) Cmr và luôn cắt nhau với mọi giá trị của tham số m. Tìm tọa độ giao điểm I của [tex]d_1[/tex] và [tex]d_2[/tex] .
b) Khi m thay đổi thì I di động trên 1 đường cố định nào?

2)Trong mp tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:
[tex] (C_1 ):x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0 \\(C_2 ):x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0 \\ [/tex]
Viết pt các tiếp tuyến chung của hai đường tròn trên.

Câu 3.(3 điểm)
Giải các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình sau:
a)[tex]\log _2 (1 + \sqrt[3]{x}) = \log _7 x[/tex]
b)[tex]\left\{ x^3 (2 + 3y) = 1 \\x(y^3 - 2) = 3 \\right.[/tex]
c) [tex]\sqrt {x^2 + x - 2} + \sqrt {x^2 + 2x - 3} \le \sqrt {x^2 + 4x - 5}[/tex]

Câu 4.(2 điểm)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa [tex]\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}[/tex]
CMR: [tex]\frac{{a + b}}{{2a - b}} + \frac{{c + b}}{{2c - b}} \ge 4[/tex]

Câu 5.(4 điểm)
1) Giải phương trình :[tex]2\sin 2x + (2\sqrt 3 - 3)\sin x + (2 - 3\sqrt 3 )\cos x = 6 - \sqrt 3[/tex]
[/tex].
2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và diện tích S thỏa S=(a+b+c)(c+b-a). CMR [tex]\tan A = - \frac{8}{{15}}[/tex]

Câu 6.(2 điểm)
Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]Q = \sin ^2 A - \sin ^2 B + \sin ^2 C[/tex].
giải ra đáp số hộ cái nhé để dò nhé các bạn

 

[duynhan1]

Câu 6.(2 điểm)
Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [tex]Q = \sin ^2 A - \sin ^2 B + \sin ^2 C[/tex].
giải ra đáp số hộ cái nhé để dò nhé các bạn

[TEX]2Q = 1 - cos 2A - 2sin^2B+ 1 - cos 2C \\ = 2 - 2 cos ( A+C) . cos (A-C) - 2sin^2B \\ =2cos^2B + 2 cosB . cos(A-C) \\ = 2( cos B +\frac12 cos (A-C) )^2 - \frac12 cos(A-C)^2 \ge 0 - \frac12 = -\frac12 \\ \Leftrightarrow Q \ge - \frac14[/TEX]


[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ A=C \\ cos B = - \frac12 \right. \Leftrightarrow \left{ B = 120^o \\ A=C= 30^o[/TEX]

 

[duynhan1]

Câu 5.

(4 điểm)
2) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và diện tích S thỏa S=(a+b+c)(c+b-a). CMR [tex]\tan A = - \frac{8}{{15}}[/tex]

2.Gọi p là nửa chu vi
[TEX]S = (a+b+c)( b+c-a) \\ \Leftrightarrow p(p-a)(p-b)(p-c) = 4p^2. 4(p-a)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (p-b)(p-c) = 16p(p-a)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2 - (b-c)^2 = 16( (b+c)^2-a^2 ) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 17 a^2 = 17(b^2+c^2) + 30bc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 17( b^2 + c^2 - a^2) =- 30 bc[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow cos A = - \frac{15}{17} [/TEX]

Lại có : [TEX]tan^2A + 1 =\frac{1}{cos^2A} = \frac{17^2}{15^2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow tan^2A = \frac{64}{225} [/TEX]

Mà : [TEX]\left{ sin A > 0 \\ cos A = - \frac{15}{17} <0 \right. \Rightarrow tan A < 0 [/TEX]

[TEX]\Rightarrow tan A = - \frac{8}{15} [/TEX]

 

[duynhan1]

Câu 4:
Giả thiết, ta suy ra: [TEX]\left{ 2b-c >0 \\ 2b - a>0 \\ ab + bc = 2ac[/TEX]

[TEX](bdt) \Leftrightarrow 4ac - 2b^2 +( ab + bc ) \ge 4 . ( 4ac - 2( ab + bc) +b^2) [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 6ac - 2b^2 \ge 4b^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ac \ge b^2 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow ac \ge ( \frac{2ac}{a+c} )^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a+c)^2 \ge 4ac [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (a-c)^2 \ge 0 [/TEX]

Vậy bdt đã cho luôn đúng :
[TEX]"=" \Leftrightarrow \left{ a = c \\ \frac{2}{a} = \frac{2}{b} \right. \Leftrightarrow a=b=c [/TEX]
[/SIZE][/FONT]

 

[duynhan1]

Câu 33 điểm)
b)[tex]\left\{ x^3 (2 + 3y) = 1 \\x(y^3 - 2) = 3 \\right.[/tex]
c) [tex]\sqrt {x^2 + x - 2} + \sqrt {x^2 + 2x - 3} \le \sqrt {x^2 + 4x - 5}[/tex]

Câu b quen quá.

Ta có : x= 0 không là nghiệm của hệ.
Với [TEX]x \not= 0 [/TEX]. Đặt [TEX]z = \frac{1}{x} [/TEX]. Ta có :

[TEX]\left{ z^3 - 3y = 2 \\ y^3 - 3z = 2 \right. (II)\Rightarrow (z-y)(z^2 + y^2 + zy) + 3(z-y) = 0 [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[ z -y = 0 \\ z^2 + y^2 + yz + 3 = 0 (2) \right. (*) [/TEX]

[TEX](2) [/TEX] vô nghiệm do : [TEX] z^2 + y^2 + yz + 3 = ( y + \frac12z)^2 + \frac34 z^2 + 3 > 0 [/TEX]

[TEX](*) \Leftrightarrow z = y [/TEX]

[TEX](II) \Leftrightarrow \left{ y = z \\ y^3 - 3y - 2 = 0 \right. \\[/TEX][TEX] \Leftrightarrow \left[ y = z = 2\\ y = z = -1 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \left[ \left{ y = 2 \\ x = \frac12 \right. \\ \left{ x = -1 \\ y = -1 \right. \right. [/TEX]

c.[tex]\sqrt {x^2 + x - 2} + \sqrt {x^2 + 2x - 3} \le \sqrt {x^2 + 4x - 5}[/tex]
Điều kiện :
[TEX]\left{ x^2 + x -2 \ge 0 \\ x^2 + 2x -3 \ge 0 \\ x^2 +4x -5 \ge 0 \right. \Leftrightarrow \left[ x \le - 5 \\ x \ge 1[/TEX]

TH1: [TEX]x \ge 1 [/TEX], bất phương trình tương đương với :
[TEX]\left[ x = -1 \\ \sqrt{x+2} + \sqrt{x+3} \le \sqrt{x+5} (2) [/TEX]
[TEX](2) \Leftrightarrow 2 \sqrt{(x+2)(x+5)} \le - x [/TEX] ( vô nghiệm do [TEX]x \ge 1[/TEX])

[TEX]KL: x = -1 [/TEX]

TH2: [TEX]x \le - 5 [/TEX], bất phương trình tương đương với :
[TEX] \sqrt{-x-2} + \sqrt{-x-3} \le \sqrt{-x-5}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+2)(x+3)} \le x [/TEX] ( vô nghiệm do [TEX]x \le -5 [/TEX])

KL : [TEX]x \in \oslash[/TEX]

Kết luận : [TEX]S = \{-1\}[/TEX]

 

[duynhan1]

Câu 5.(4 điểm)
1) Giải phương trình :[tex]2\sin 2x + (2\sqrt 3 - 3)\sin x + (2 - 3\sqrt 3 )\cos x = 6 - \sqrt 3[/tex]

Ta nhẩm được 1 nghiệm [TEX]x = \frac{7\pi}{6}[/TEX] nên ta làm như sau:

[TEX](pt) \Leftrightarrow 2 sin 2x + 4 ( \frac{\sqrt{3}}{2} sin x + \frac12 cos x) - 6 ( \frac12 sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} cos x) = 6 - \sqrt{3}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2 sin 2x + 4 . sin ( x + \frac{\pi}{6}) - 6 sin ( x + \frac{\pi}{3}) = 6 - \sqrt{3}[/TEX]

Đặt [TEX]x = y + \frac{7 \pi}{6}[/TEX]. Ta có :

[TEX](pt) \Leftrightarrow 2 sin ( 2y + \frac{\pi}{3} ) + 4 sin (y + \frac{4\pi}{3} ) - 6sin( y+ \frac{3\pi}{2}) = 6 - \sqrt{3} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow sin 2y + \sqrt{3} cos 2y - 2(siny + \sqrt{3} cos y) + 6 cos y = 6 - \sqrt{3} [/TEX]

[TEX]2 sin y ( cos y - 1) +\sqrt{3}( cos 2y - 2 cos y + 1) + 6( cos y -1) = 0 [/TEX]

[TEX]\left[ cos y - 1 = 0 \\ 2 sin y + 2 \sqrt{3} cos y + 6 = 0 [/TEX]

[TEX]\left[ cos y = 1 \\ sin(y + \frac{\pi}{3}) = \frac32 ( vo\ nghiem)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow y = k2\pi[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x = 7 \frac{\pi}{6} + k2\pi[/TEX]

Bài giải có tham khảo bài giảng của thầy 2M -math.vn

 

[duynhan1]

Câu 2.

(4 điểm)
1) Trong mp toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng:
[tex](d_1 ) : (2m + 6)x + (4m - 2)y - 7m = 0 \\ (d_2 ) : (6m - 3)x - (3m + 9)y - 4m - 5 = 0 [/tex]
a) Cmr và luôn cắt nhau với mọi giá trị của tham số m. Tìm tọa độ giao điểm I của [tex]d_1[/tex] và [tex]d_2[/tex] .
b) Khi m thay đổi thì I di động trên 1 đường cố định nào?

a) Giả sử I là giao điểm của [TEX](d_1)&(d_2)[/TEX]. Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình :
[TEX]\left{ (2m + 6)x + (4m - 2)y - 7m = 0 \\ (6m - 3)x - (3m + 9)y - 4m - 5 = 0 \right. \ \ \ \ \ \ (I) [/TEX]
[TEX]D = \left| \begin{matrix}2(m+3) & 2(2m-1) \\ 3(2m-1) & -3(m+3) \end{matrix} \right| = -6(m+3)^2 - 6(2m-1)^2 < 0 \forall m [/TEX]
DO đó hệ có nghiệm [TEX]\forall m [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (d_1)&d_(2)[/TEX] luôn cắt nhau với mọi giá trị của m.
b)
[TEX](I) \Leftrightarrow m ( 2x + 4y - 7) = - 6x + 2y \\ m(6x - 3y-4) = 3x+ 9y + 5 [/TEX]

Suy ra : [TEX]m(2x + 4y - 7)(3x+ 9y + 5) = -2(3x -y)m( 6x- 3y-4) [/TEX]
hay : [TEX] 6x^2 + 36y^2 + 30 xy - 11x - 43 y - 35 = - 36x^2 - 6y^2 + 30xy + 24 x - 8y[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 42x^2 + 42y^2 - 35 x - 35 y - 35 = 0 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 6x^2 - 5x + 6y^2 - 5y - 5 = 0 [/TEX]

Vậy giao điểm của (d1) và (d2) di chuyển trên đường tròn :
[TEX](C) : 6x^2 - 5x + 6y^2 - 5y-5 = 0 [/TEX]

Hic mệt rồi, nghỉ 1 lát mai làm tiếp