đề thi học sinh giỏi toán 9 khá khó

[passivedefender]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đây là đề khá khó, bài nào cũng đòi hỏi sự sáng tạo, đã thế lại còn có tới 7 bài, thời gian vẫn là 150 phút. Mình chỉ chém được bài 1 với bài 7 trong thời gian 150 phút chưa kịp trình bày @@. Đây là đề tỉnh nào, năm nào thì mình không cho biết địa chỉ đâu, khỏi search lời giải nhé =)).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 1. Cho [tex]x,y \epsilon Z[/tex]; [tex]x,y \neq 1[/tex] thoả mãn
[tex]\frac{x^{2}-1}{y+1}+\frac{y^{2}-1}{x+1}[/tex] là một số nguyên. Chứng minh rằng [tex]x^{2}y^{22}-1 \vdots x+1[/tex] (3ps)

Bài 2. Tìm đa thức bậc 7 có các hệ số là số nguyên nhận [tex]x=\sqrt[7]{\frac{3}{5}}+\sqrt[7]{\frac{5}{3}}[/tex] là một nghiệm (3ps)

Bài 3. Giải phương trình
[tex](x+3)\sqrt{(4-x)(12+x)}+x=28[/tex] (3ps)

Bài 4. Cho [tex]x,y,z>0[/tex] thoả mãn [tex]xy+yz+zx=\frac{9}{4}[/tex]. Tìm giá trị nhỏ nhất của
[tex]A=x^{2}+14y^{2}+10z^{2}-4\sqrt{2y}[/tex] (3ps)

Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng
[tex]\frac{OA^{2}}{AB.AC}+\frac{OB^{2}}{BC.BA}+\frac{OC^{2}}{CA.CB}[/tex] (3ps)

Bài 6. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh BC lấy điểm D không trùng với B, C. Gọi [tex]r_{1}[/tex] là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD, [tex]r_{2}[/tex] là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ACD. Xác định vị trí của điểm D để tích [tex]r_{1}r_{2}[/tex] đạt giá trị lớn nhất. (3ps)

Bài 7. Cho [tex]2009[/tex] điểm khác nhau nằm bên trong hình chữ nhật có chiều dài [tex]251[/tex] cm, chiều rộng [tex]4[/tex] cm. Vẽ [tex]2009[/tex] hình tròn nhận các điểm trên làm tâm và có cùng bán kính là [tex]\sqrt{2}[/tex] cm. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một hình tròn trong số chúng chứa ít nhất [tex]3[/tex] điểm trong [tex]2009[/tex] điểm nói trên. (2ps)

--------------------------------------------------hết---------------------------------------------------------

 

[braga]

Bài 3: ĐK: $\ \ -3\leq x\leq 4$
Đặt $\begin{cases}x+3=a\\\sqrt{(4-x)(12+x)}=b \end{cases}(2)\implies 28-x=\dfrac{a^2+b^2-1}{2}$
$$\implies (1)\iff ab=\dfrac{a^2+b^2-1}{2}\iff (a-b)^2=1\iff a-b=1 \ \vee \ a-b=-1 \ \ (3)$$
Thế (3) vào (2), được:
$$x+4=\sqrt{(4-x)(12+x)} \ \vee \ x+2=\sqrt{(4-x)(12+x)}$$

Cách 2: Viết pt thành: $\dfrac{-1}{2}(-x^2-8x+48)+(x+3)\sqrt{-x^2-8x+48}-\dfrac{1}{2}x^2-3x-4=0$
Đặt $t=\sqrt{(-x^2-8x+48}$
pt trở thành $\dfrac{-1}{2}t^2+(x+3)t-\dfrac{1}{2}x^2-3x-4=0$
Pt này có $\Delta =1$

 

[braga]

Bài 4: Theo $AM-GM$ thì:
$$\dfrac{x^2}{2}+8z^2 \geq 4xz \ ; \ \dfrac{x^2}{2}+8y^2 \geq 4yz \ ; \ 2(y^2+z^2) \geq 4xy$$

Cộng lại: $$x^2+10y^2+10z^2 \geq 4(xy+yz+zx)$$

Kết hợp với $(1)$ suy ra $$x^2+10y^2+10z^2 \geq 9 \ \ \ (2)$$

Lại có $$4y^2=(\sqrt{2y})^4 \geq 4\sqrt{2y}-3 \\ \iff 4y^2-4\sqrt{2y} \geq -3 \ \ \ (3)$$

Cộng $(2)$ và $(3)$ ta có:
$$x^2+14y^2+10z^2-4\sqrt{2y} \geq 9-3=6$$

Vậy $\min Q=6$, đạt được khi $\left\{ \begin{array}{l} x=2\\ y=z=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$

 

[passivedefender]

Đây là lời giải
http://f1.onthionline.net/flash-dethi/62874.swf