Toán Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đắc Nông năm 2016-2017

[Nguyễn Xuân Hiếu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ĐỀ THI HSG TOÁN 9 TỈNH ĐẮC NÔNG
NĂM HỌC 2016-2017 THỜI GIAN:150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
​

Bài 1 (2,0 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên $m,n$ thõa mãn $m^2(n+1)-n^2=9(n+225)$.
Bài 2 (4,0 điểm).Cho biểu thức:
[tex]A=\dfrac{\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}}{\sqrt{1-\dfrac{18}{x}+\dfrac{81}{x^2}}}[/tex]
a)Rút gọn biểu thức $A$.
b)Tìm tất cả các giá trị x nguyên lớn hơn $18$ để A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 (2,0 điểm).Giải phương trình:
[tex]3\sqrt{x^3+8}=2x^2-3x+10[/tex]
Bài 4 (2,0 điểm)Cho các số thực dương a,b,c thay đổi và thõa mãn $a+b+c=2017$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
[tex]P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-c[/tex]
Bài 5 (2,0 điểm):Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol $(P):y=2x^2$ và đường thẳng (d) có phương trình là : [tex]y=(3m-2)x+2[/tex] ($m$ là tham số bất kỳ).
a)Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
b)Gọi $x_1$ và $x_2$ lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) tìm m để : [tex]\dfrac{3}{2}(x_1-x_2)^2+2 \left (\dfrac{x_1-x_2}{2}+\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2 }\right)^2=24[/tex] .
Bài 6 (8,0 điểm) Cho đường tròn $(O,R)$.Gọi $B,C$ là hai điểm cố định trên $(O)$ và A là điểm di động trên cung lớn $BC$.Lấy $M$ là trung điểm đoạn $AC$,$P$ là trung điểm $CM$.Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt đoạn thẳng $BC$ tại $Q$ khác $B$.
a)So sánh độ lớn $\widehat{ABM}$ và $\widehat{MQP}$.
b)Đường tròn ngoại tiếp tam giác $MAB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $MPQ$ tại $S$ khác $M$.Giả sử $SM$ cắt $AB$ tại $D$.Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $SDR$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di động.
c)Khi tam giác $ABC$ đều ,tính theo $R$ diện tích phần ngoài tam giác $ABC$ nằm bên ngoài đường tròn đường kính $CM$.

-HẾT-
​

 

[Trafalgar D Law]

Bài 4
a+b+c=2017
=> c=2017-a-b
[tex]P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-c=\frac{1}{a}+a+\frac{1}{b}+b-2017\geq 2+2-2017=-2013[/tex]
Dấu "=" xảy ra khi a=1;b=1 và c=2015

 

[Trafalgar D Law]

Bài 3
ĐKXĐ:[tex]x\geq -2[/tex]
[tex]3\sqrt{x^{3}+8}=2x^{2}-3x+10\Leftrightarrow 3[\sqrt{x^{3}+8}-(x+2)]=2x^{2}-3x+10-3(x+2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 3.\frac{x^{3}+8-x^{2}-4x-4}{\sqrt{x^{3}+8}+x+2}=2x^{2}-6x+4[/tex] (thêm điều kiện x khác -2)
[tex]\Leftrightarrow 3.\frac{(x-2)(x-1)(x+2)}{\sqrt{x^{3}+8}+x+2}=2(x-2)(x-1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-2)(x-1)[2-\frac{3(x+2)}{\sqrt{x^{3}+8}+x+2}]=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x-2=0[/tex] hoặc [tex]x-1=0[/tex] hoặc [tex]2-\frac{3(x+2)}{\sqrt{x^{3}+8}+x+2}=0[/tex]
Giải ra tìm được x=2 và x=1 còn [tex]2-\frac{3(x+2)}{\sqrt{x^{3}+8}+x+2}=0[/tex] thì vô nghệm
KL:..........

 

[iceghost]

1/ Do $n \ne -1$ nên ta có
$m^2 = \dfrac{n^2 + 9n + 2025}{n+1} = n + 8 + \dfrac{2017}{n+1}$
Do $m \in \mathbb{N}$ nên $m^2 \in \mathbb{N}$. Khi đó ta phải có $2017 \mid (n+1)$
Mà $n \in \mathbb{N}$ nên $n = 0$ hoặc $n = 2016$
Khi đó ta có $m^2 = 2025 \implies m = 45$
Vậy $(m;n) = (45 ; 0) ; (45 ; 2016)$

 

[iceghost]

2/ Cách khác
ĐK : $x \geqslant -2$
pt $\iff 3\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)} = (x+2) + 2(x^2 - 2x + 4)$
$\iff (\sqrt{x+2} - \sqrt{x^2 -2x +4})(\sqrt{x+2} - 2\sqrt{x^2 - 2x + 4}) = 0$
Tới đây chia 2 TH rồi giải bình thường