Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội ( 2013-2014)

[s_m_i_l_e]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: ( 5 điểm)
1) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: a+b+c=2014 và $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2014}$
Tính giá trị của biểu thức $M=\dfrac{1}{a^{2013}}+\dfrac{1}{b^{2013}}+\dfrac{1}{c^{2013}}$
2)Tìm số tự nhiên n để $5^{2n^{2}-6n+2}-12$ là số nguyên tố
Bài 2 ( 5 điểm)
1) Giải phương trình: $x^{2}-2x-2\sqrt{2x+1}-2=0$
2)Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=4x-5+2xy\\x^{4}+y^{4}=9z-5-4x^{2}-2x^{2}y^{2}\end{matrix}\right.$
Bài 3: ( 2 điểm) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: $0\leq a\leq 4; 0\leq b\leq 4 ;0\leq c\leq 4$ và a+b+c=6
Tìm GTLN của biểu thức:$P=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca$
Bài 4 ( 6 điểm )
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp (O). Gọi điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tia AI cắt (O) tại M ( M khác A).
a) Chứng minh các tam giác IMB và IMC là các tam giác cân
b) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại N (N khác M) và cắt cạnh BC tại P. Chứng minh
$sin\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=\dfrac{IP}{IN}$
c) Gọi các điểm D,E lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh AB,AC. Gọi điểm H,K lần lượt đối xứng với các điểm D,E qua I. Biết rằng AB+AC=3BC, chứng minh các điểm B,C,H,K cùng thuộc 1 đường tròn
Bài 5 ( 2 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên x,y thỏa mãn $5^{x}-2^{y}=1$
2) Cho lục giác đều ABCDEF cạnh có độ dài bằng 1 và P là điểm nằm trong lục giác đó. Các tia AP,BP,CP,DP,EP,FP cắt các cạnh của lục giác này lần lượt tại các điểm $M_{1},M_{2},M_{3},M_{4},M_{5},M_{6}$ ( các điểm này lần lượt khác các điểm A,B,C,D,E,F). Chứng minh lục giác $M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}M_{5}M_{6}$ có ít nhất 1 cạnh có độ dài lớn hơn hoặc bằng 1

 

[eye_smile]

1.1:
Từ GT \Rightarrow $\dfrac{1}{a+b+c}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
\Leftrightarrow $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{1}{c}=\dfrac{-(a+b)}{c(a+b+c)}$
\Leftrightarrow $(a+b)(ac+bc+{c^2})=-(a+b)ab$
\Leftrightarrow $(a+b)(ac+bc+{c^2}+ab)=0$
\Leftrightarrow $(a+b)(b+c)(c+a)=0$
\Rightarrow trong 3 số $a;b;c$ có 2 số đối nhau
+ $a+b=0$\Rightarrow $c=2014$
\Rightarrow $a=-b$
\Rightarrow ${a^{2013}}=-{b^{2013}}$
\Rightarrow $\dfrac{1}{{a^{2013}}}=-\dfrac{1}{{b^{2013}}}$
\Rightarrow $M=\dfrac{1}{{c^{2013}}}=\dfrac{1}{{2014^{2013}}}$
+2 TH còn lại TT và cùng ra 1 kq như trên

 

[letsmile519]

2.1Ta có:

$x^2=(\sqrt{2x+1}+1)^2$

@};-@};-

1.1

Xét các trường hợp [TEX]n^2-3n+1<0[/TEX] , =0, =1, >1 chỉ c họn TH =1 là tm

 

[congchuaanhsang]

2.2 Lần lượt thử n=1;2;3 được n=3 thỏa mãn

Xét n \geq 4

$5^{2n^2-6n+2}-12=25^{n^2-3n+1}-12$

Nhận thấy $n^2-3n+1$ lẻ với mọi n

\Rightarrow $25^{n^2-3n+1}$ chia 13 dư -1

\Rightarrow $25^{n^2-3n+1}-12$ chia hết cho 13 và >13

\Rightarrow không là số nguyên tố

Vậy $n=3$

 

[hoangdieuquang]

giải 5.2

5.2
Nếu P nằm trên một đường chéo nào đó của lục giác thì bài toán giải được dễ dàng.

Nếu P không nằm trên đường chéo nào của lục giác thì
P nằm hoàn toàn ở miền trong của tam giác có đỉnh O và cạnh là cạnh lục giác ban đầu.
Không mất tính tổng quát, ta cho P nằm ở miền trong tam giác OAB
Khi đó các đường AP, BP,CP, DP,EP,FP không cắt được đoạn CD.
Tổng quát là tồn tại ít nhất một cạnh của lục giac ABCDEF không bị cắt

TH1: Nếu có một cạnh không bị cắt, ta xét 2 điểm M nằm trên 2 cạnh liền kề cạnh này là xong.

TH2: nếu có 2 cạnh liên tiếp không bị cắt thì ta lại xét 2 điểm M năm trên 2 cạnh liên tiếp bị cắt của 2 cạnh không bị cắt này.

TH 3:Nếu có 3 cạnh liên tiếp không bị cắt thì ta xét 2 điểm M nằm ở 2 cạnh bị cắt mà không liền nhau

TH4. có 4 cạnh liên tiếp không bị cắt. Suy ra 2 cạnh bị cắt liên tiếp nhau. Chúng có chung đỉnh , đỉnh C chẳng hạn. Khi đó, 2 cạnh bị cắt là CB và CD. Mặt khác CP phải cắt một cạnh khác ngoài CB và CD . Số cạnh bị cắt không ít hơn 3. Sẽ không tồn tại 4 cạnh liên tiếp không bị cắt.

Bài toán đã giải xong!

 

[quangtat79]

Hệ PT:
(1) \Leftrightarrow (x-y)2 = 4z-5\geq0\Rightarrowz\geq5/4
(2)\Leftrightarrow(x2+y2)2=(4z-5)(1-z)\geq0\Rightarrow1\leqz\leq5/4
\RightarrowHệ PT có nghiệm \Leftrightarrowz=5/4.
Từ đó giải hpt hai ẩn x, y bình thường

 

[bongxu001]

bạn nào giải rõ hơn cho mình b1 được ko ? Mình chưa hiểu kĩ lắm