đề thi học sinh giỏi Nam Định

[chauchim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại I.
a.Chứng minh I là trâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
b.Giả sử góc BAC=60. Tính diện tích tứ giác AEOF theo R

2.Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC của tam giác ABC theo thứ tự ở P và Q
Chứng minh rằng :
a.PQ^2 + AP.AQ = AP^2 + AQ^2
b.AP/BP + AQ/CQ = 1
các bác làm giúp em nha, chủ nhật em cần rồi

 

[son9701]

1/a/Sd các tứ giác nội tiếp AEIF và AEDB ta thu được:
[tex]\hat{FEI}=\hat{FAI}=\hat{BED}[/tex] hay EI là p/g góc DEF
CM hoàn toàn tg tự thì FI là p/g DFE --> I là tâm nội tiếp tam giác DEF
b/Trước hết ta cminh OA vuông góc EF.
Thật vậy: Kẻ trung tuyến Ax của (O)(về phía có C) thì

[tex]\hat{CAx}=\hat{CBA}=\hat{AEF}[/tex] => EF//Ax=> EF vuông góc OA

Việc cần làm giờ chỉ là tính EF theo R (vì [tex]S_{AEOF}=\frac{EF.OA}{2}[/tex])

Ta có:[tex]\triangle AEF \sim \triangle ABC (g-g) \Rightarrow \frac{FE}{CB}=\frac{AE}{BA}=cosA=\frac{1}{2} \Leftrightarrow EF=\frac{1}{2}.BC[/tex]

Mặt khác;sđ BC=120 độ thì [tex]BC=R.\sqrt{3}[/tex](dễ cm)

Nên ta có:
[tex]S_{AEOF}=\frac{\sqrt{3}}{4}.R^2[/tex]