Đề thi học sinh giỏi lớp 9

[nhokngok2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:
a, Chứng minh số [TEX]\sqrt{2014^2+2014^2.2015^2 + 2015^2}[/TEX] là một số nguyên dương.
b, Cho x>0 , y>0 và [TEX]x+y\leq1[/TEX]. Chứng minh [TEX]\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq 4[/TEX].

Câu 2:
a, Cho biểu thức [TEX]A = (a^2014+b^2014+c^2014)-(a^2010+b^2010+c^2010)[/TEX] với a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh rằng A chia hết cho 30.
b, Cho x và y là các số hữu tỉ và thỏa mãn đẳng thức [TEX](x+y)^3 = xy(3x+3y+2)[/TEX]. Chứng minh [TEX]\sqrt{1-xy}[/TEX] là một số hữu tỉ.

Câu 3: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H ( D thuộc BC, E thuộc AC, F thuộc AB). Chứng minh rằng :
a, Bốn điểm B,F,E,C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
b, HA.HD = HB.HE = HC.HF
c, H là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác DEF.
d, [TEX]sin \widehat{ADF}.sin \widehat{BED}. sin \widehat{CFE} \leq \frac{1}{8}[/TEX].

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB < AC và trung tuyến AM, [TEX]\widehat{ACB} = \alpha[/TEX], [TEX]\widehat{AMB} = \beta[/TEX]. Chứng minh [TEX](sin \alpha + cos \alpha)^2 = 1 + sin \beta[/TEX].

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. (b) $(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)-4=\dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$ với mọi $x,y> 0$ nên $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}$
Thay $x=x^2+xy$ và $y=y^2+xy$ ta được $LHS\ge \dfrac{4}{(x+y)^2}\ge 4$

 

[an180201]

Bài 1. (b) $(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)-4=\dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$ với mọi $x,y> 0$ nên $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}$
Thay $x=x^2+xy$ và $y=y^2+xy$ ta được $LHS\ge \dfrac{4}{(x+y)^2}\ge 4$

Ngoài cách này ra mình còn có cách khác như sau:
$\frac{1}{x^{2} + xy}$ = $\frac{1}{x(x + y)}$ \geq $\frac{1}{x}$ (do $x + y$ \leq 1) (1)

Tương tự có $\frac{1}{y^{2} + xy}$ \geq $\frac{1}{y}$ (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow $\frac{1}{x^{2} + xy}$ + $\frac{1}{y^{2} + xy}$ \geq $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ \geq $\frac{4}{x + y}$ \geq 4 (do $x + y$ \leq 1)
Dấu "$=$" xảy ra \Leftrightarrow $x$ = $y$ = $\frac{1}{2}$

 

[an180201]

Bài 1. (b) $(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)-4=\dfrac{(x-y)^2}{xy} \ge 0$ với mọi $x,y> 0$ nên $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}$
Thay $x=x^2+xy$ và $y=y^2+xy$ ta được $LHS\ge \dfrac{4}{(x+y)^2}\ge 4$

Ngoài cách này ra mình còn có cách khác như sau:
$\frac{1}{x^{2} + xy}$ = $\frac{1}{x(x + y)}$ \geq $\frac{1}{x}$ (do $x + y$ \leq 1) (1)

Tương tự có $\frac{1}{y^{2} + xy}$ \geq $\frac{1}{y}$ (2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow $\frac{1}{x^{2} + xy}$ + $\frac{1}{y^{2} + xy}$ \geq $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ \geq $\frac{4}{x + y}$ \geq 4 (do $x + y$ \leq 1)
Dấu "$=$" xảy ra \Leftrightarrow $x$ = $y$ = $\frac{1}{2}$