đề thi học sinh giỏi ( giúp vs nha)

[trang8clb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.a)Tìm a, b, c thuộc Z biết a^2+b^2+c^2 \leq ab+3b+2c
b)Cho a, b thuộc N trong đó a=b-2
CMR: b^3 - c^3 viết được dưới dạng tổng 3 số chính phương

2. Cho P=n^4 - 27n^2+121. Tìm n thuộc N* để P nguyên tố





_____THANK YOU SO MUCH_________)

 

[harrypham]

1. a) [TEX]a^2+b^2+c^2 \le ab+3a+2c[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4a^2+4b^2+4c^2-4ab-12a-8c \le 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2a)^2- 2 \cdot 2a \cdot b + b^2+3(b^2-4b+4)+4(c^2-2c+1) \le 16[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (2a-b)^2+3(b-2)^2+4(c-1)^2 \le 16[/TEX]
Ta có [TEX]4(c-1)^2 \le 16 \Leftrightarrow (c-1)^2 \le 4 \Leftrightarrow (c-1)^2 \in \{0;1;4 \}[/TEX].

TH1: [TEX](c-1)^2=0 \Rightarrow c=1[/TEX].
Và [TEX](2a-b)^2+3(b-2)^2 \le 16[/TEX]. Từ đây ta suy ra [TEX](b-2)^2 \le 4[/TEX].

Khả năng 1. [TEX](b-2)^2=0 \Rightarrow b=2[/TEX] và [TEX](2a-2)^2 \le 16 \Rightarrow -4 \le 2a-2 \le 4 \Rightarrow -2 \le 2a \le 6 \Rightarrow -1 \le a \le 3[/TEX].

Khả năng 2. [TEX](b-2)^2=1 \Rightarrow \left[ \begin{array} b=3 \\ b=1 \end{array} \right.[/TEX]. Khi đó [TEX](2a-b)^2 \le 13 \Rightarrow -3 \le 2a-b \le 3[/TEX].

+ Với [TEX]b=3[/TEX] thì [TEX]0 \le 2a \le 6 \Rightarrow 0 \le a \le 3[/TEX].
+ Với [TEX]b=1[/TEX] thì [TEX] -2 \le 2a \le 4 \Rightarrow -1 \le a \le 2[/TEX].

Khả năng 3. [TEX](b-2)^2=4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} b=4 \\ b=0 \end{array} \right.[/TEX] Khi đó [TEX](2a-b)^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le 2a-b \le 2[/TEX].

+ Với [TEX]b=4[/TEX] thì [TEX]2 \le 2a \le 6 \Rightarrow 1 \le a \le 3[/TEX].
+ Với [TEX]b=0[/TEX] thì [TEX] -1 \le a \le 1[/TEX].

TH2: [TEX](c-1)^2=1 \Rightarrow \left[ \begin{array} c=2 \\ c=0 \end{array} \right.[/TEX].
Khi đó ta cũng có [TEX](2a-b)^2+3(b-2)^2 \le 12[/TEX].
Tiếp tục giới hạn ta cũng được [TEX](b-2)^2 \le 4[/TEX]. Xét 3 khả năng:

Khả năng 1: Với [TEX](b-2)^2=0 \Rightarrow b=2[/TEX]. Và [TEX](2a-2)^2 \le 12 \Rightarrow -3 \le 2a-2 \le 3 \Rightarrow -1 \le 2a \le 5 \Rightarrow 0 \le a \le 2[/TEX].

Khả năng 2: Với [TEX](b-2)^2=1 \Rightarrow \left[ \begin{array} b=3 \\ b=1 \end{array} \right.[/TEX]. Ta cũng có: [TEX](2a-b)^2 \le 9[/TEX].
+ Với [TEX]b=3[/TEX] thì [TEX](2a-3)^2 \le 3^2 \Rightarrow -3 \le 2a-3 \le 3 \Rightarrow 0 \le a \le 2[/TEX].
+ Với [TEX]b=1[/TEX] thì [TEX](2a-1)^2 \le 9 \Rightarrow -3 \le 2a-1 \le 3 \Rightarrow -2 \le 2a \le 4 \Rightarrow -1 \le a \le 2[/TEX].

Khả năng 3: Với [TEX](b-2)^2=4 \Rightarrow \left[ \begin{array} b=4 \\ b=0 \end{array} \right.[/TEX]. Cũng có [TEX](2a-b)^2 \le 0[/TEX].
+ Với [TEX]b=4[/TEX] thì [TEX](2a-4)^2 \le 0 \Leftrightarrow (a-2)^2 \le 0 \Leftrightarrow a=2[/TEX].
+ Với [TEX]b=0[/TEX] thì [TEX](2a)^2 \le 0 \Leftrightarrow a=0[/TEX].

TH3: [TEX](c-1)^2=4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array} c=3 \\ c=-1 \end{array} \right.[/TEX]. Và [TEX](2a-b)^2+3(b-2)^2 \le 0 \Rightarrow a=1,b=2[/TEX].

P/s: Làm một hồi rồi không biết đâu là cái kết quả nữa ???

 

[soicon_boy_9x]

Bài 1b

Ta có $a=b-2 \leftrightarrow b-a=2$

$\leftrightarrow b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2)=2(a^2+ab+b^2)=a^2+b^2+
(a^2+2ab+b^2)=a^2+b^2+(a+b)^2$

Bài 2:

$P=n^4-27n^2+121=n^4+22n^2+121-49n^2=(n^2+11)^2-(7n)^2=
(n^2-7n+11)(n^2+7n+11)$

Vì $n \in N^*$ nên $n^2+7n+11>11$

Nếu $n^2-7x+11 < 0 \rightarrow P<0(loại)$

Nếu $n^2-7x+11=0 \rightarrow P=0(loại)$

Nếu $n^2-7x+11 > 1$ loại vì P là tích của 2 số nguyên dương lớn hơn 1
nên không là số nguyên tố

Vậy $n^2-7x+11=1$

$\leftrightarrow n^2-7x+10=1 \leftrightarrow (n-2)(n-5)=0 \leftrightarrow n
\in \{ 2;5 \}$

 

[acquy99]

bài 1 câu b nè ban
Ta có a=b−2↔b−a=2

↔b3−a3=(b−a)(a2+ab+b2)=2(a2+ab+b2)=a2+b2+(a2+2ab+b2)=a2+b2+(a+b)2

Bài 2:

P=n4−27n2+121=n4+22n2+121−49n2=(n2+11)2−(7n)2=(n2−7n+11)(n2+7n+11)

Vì n∈N∗ nên n2+7n+11>11

Nếu n2−7x+11<0→P<0(loại)

Nếu n2−7x+11=0→P=0(loại)

Nếu n2−7x+11>1 loại vì P là tích của 2 số nguyên dương lớn hơn 1
nên không là số nguyên tố

Vậy n2−7x+11=1

↔n2−7x+10=1↔(n−2)(n−5)=0↔n∈{2;5}
[YOUTUBE]http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=RaPq_rUbf4U[/YOUTUBE]