Đề thi HMEO - Bảng B

[minhtuyb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề thi HMEO <Đề chính thức>
--Bảng B--​

Câu 1:
a)(3 đ) Chứng minh rẳng $A=(2^n-1)(2^n+1)$ chia hết cho $3$ với mọi số tự nhiên $n$

b)(4 đ) Chứng minh rằng $2^{2p}+2^{2q}$ không thể là số chính phương với mọi $p,q$ là các số nguyên không âm

Câu 2: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

$a)\ (3,5 d) \ x^4+9=5x(3-x^2)$
$b\ (3,5 d) \left\{\begin{matrix}x+y+z=6\\ xy+yz+zx=-1\\ x^2+y^2+z^2=14\end{matrix}\right.$

Câu 3: (7 đ) Cho hai hàm số:
$$A(x)=x^3+ax^2+bx+c\\ B(x)=x^2+x+2012$$
Biết rằng phương trình $A(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt và phương trình $A\left [ B(x) \right ]=0$ vô nghiệm.
Chứng minh rằng: $\large{A(2012)>\frac{1}{64}}$

Câu 4:
a) (3 đ) Cho hai điểm $A(2;3)$ và $B(7;7)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Tìm điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ để $MA+MB$ đạt GTNN. Tìm GTNN đó.

b) (4 đ) Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho 3 hàm số sau:
$$(1): y=-x+1\\ (2): y=x-1\\ (3):y=-ax+a^3-a^2-\frac{1}{3}$$
(Với $a$ là tham số)
Tìm $a$ để đồ thị của 3 hàm số trên đồng quy.

Câu 5:
a) (4 đ) Cho $\Delta ABC$ nhọn ngoại tiếp đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$. Lấy $M$ bất kì trên đoạn $AD$ khác $A,D$. $CM$ cắt $DE$ tại $I$.
Chứng minh rằng: $\large{\frac{IM}{IC}=\frac{DM}{CE}}$

b) (3 đ) Cho hình chữ nhật $ABCD$. Một góc vuông $xAy$ quay xung quanh $A$. Các tia $Ax,Ay$ lần lượt cắt đoạn thẳng $BC$, đường thẳng $CD$ tại $M,N$. Gọi $E$ là đỉnh thứ tư của hình chứ nhật $MANE$
Chứng minh rằng: $AC\perp CE$

Câu 6: (7 đ) Chứng minh rằng trong đa giác lồi $2n$ cạnh $n\in \mathbb{N}, n\ge 2$, luôn tồn tại ít nhất $n$ đường chéo không song song với bất kì cạnh nào của đa giác đó

--------------------------HẾT--------------------------

Câu 6 trong đề này khá phổ biến. Xin lỗi vì sai sót này của mình. Vòng sau BTC sẽ tự ra đề và đáp án nên sẽ không còn trường hợp này xảy ra nữa
Cảm ơn mọi người đã ủng hộ. Đáp án chính thức sẽ được đăng vào ngày 19-20/07/2012. Trong thời gian này mọi người cứ giải đề tự nhiên nhé ;
​

 

[netarivar]

Câu 1:
a) Ta có:
$\left ( 2^n-1 \right )\left ( 2^n+1 \right )$
$=\left ( 2^n \right )^2-1$
$=2^{2n}-1$
$=4^n-1$
$=\left ( 4-1 \right )\left ( 4^{n-1}+4^{n-2}+...+1 \right )$
$=3.A\vdots 3$
Câu 2:
a) $PT$\Leftrightarrow $x^4+5x^3-15x+9=0$
\Leftrightarrow $(x-1)(x+3)(x^2-3x-3)=0$
\Leftrightarrow $...$

 

[star_music]

Câu 2: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:


$b\ (3,5 d) \left\{\begin{matrix}x+y+z=6\\ xy+yz+zx=-1\\ x^2+y^2+z^2=14\end{matrix}\right.$
------------------------------------------------------------------------
Câu này hình như là:$xy+yz-zx=-1$

 

[jd3t2qh36r]

Câu 1:
a) Ta có:
(2n−1)(2n+1)
=(2n)2−1
=22n−1
=4n−1
=(4−1)(4n−1+4n−2+...+1)
=3.A⋮3

 

[vy000]

Câu 2: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:


$b\ (3,5 d) \left\{\begin{matrix}x+y+z=6\\ xy+yz+zx=-1\\ x^2+y^2+z^2=14\end{matrix}\right.$
------------------------------------------------------------------------
Câu này hình như là:$xy+yz-zx=-1$

Câu đấy trong bài mình kết luận hệ vô nhiệm;có được tính điểm ko nhỉ

 

[vngocvien97]

Câu hàm số (b) đơn giản:Đề thi vào chuyên ngoại ngữ năm 2007-2008
Đáp số: $a=\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$
Bằng việc giải phương trình quen thuộc: $a^3-a^2-a-\frac{1}{3}=0$
|

 

[vy000]

Câu 3: (7 đ) Cho hai hàm số:
$$A(x)=x^3+ax^2+bx+c\\ B(x)=x^2+x+2012$$
Biết rằng phương trình $A(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt và phương trình $A\left [ B(x) \right ]=0$ vô nghiệm.
Chứng minh rằng: $\large{A(2012)>\frac{1}{64}}$

phương trình[TEX] A(x)=0[/TEX] có 3 nghiệm phân biệt

\Rightarrow [TEX] A(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)[/TEX]

\Rightarrow phương trình [TEX]A\left [ B(x) \right ]=0[/TEX] vô nghiệm

\Rightarrow phương trình [TEX](x^2+x+2012-x_1)(x^2+x+2012-x_2)(x^2+x+2012-x_3)=0[/TEX] vô no

\Rightarrow
[TEX]x^2+x+2012-x_1=0[/TEX] vô nghiệm
[TEX]x^2+x+2012-x_2=0[/TEX] vô nghiệm
[TEX]x^2+x+2012-x_3=0[/TEX] vô nghiệm

\Rightarrow
[TEX]1-4(2012-x_1)<0\\1-4(2012-x_2)<0\\1-4(2012-x_3)<0[/TEX]

\Rightarrow
[TEX]2012-x_1>\frac{1}{4}\\2012-x_2>\frac{1}{4}\\2012-x_3>\frac{1}{4}[/TEX]

\Rightarrow
[TEX]A(2012) > \frac{1}{64}[/TEX]

 

[minhtuyb]

Câu đấy trong bài mình kết luận hệ vô nhiệm;có được tính điểm ko nhỉ

Đáp án chính là hệ vô nghiệm !
Câu này mình chủ ý đưa vào để lừa tềnh mà :khi (127):

 

[bosjeunhan]

Câu tổ hợp có bé nào làm khác cái đán áp của KHTN không nhỉ =))
Làm được lão kia nhớ cho thêm điểm sáng tạo nhá

 

[vy000]

Câu tổ hợp của KHTN ah,thế mà ko biết,tiếc ghê,có ai nộp trước mình ko?

xử nó đã,xem có giống KHTN ko

trong số 2n cạnh của đa giác,chọn lấy 1 cạnh bất kỳ,gọi nó là AB

gọi C là điểm có khoảng cách với AB là xa nhất,do đó từ C không có đường chéona //AB(dấu song song đúng ko nhỉ,lâu ko động đén toán)

từ 1 điểm khác 3 điểm A,B,C;có nhiều nhất 1 điểm có thể tạo với nó 1 đường chéo //AB

có 2n-3 điểm --> có nhiều nhất (n-2) đường chéo song song vs AB (lười chuyển qua trả lời đầy đủ)

có 2n cạnh --> có nhiều nhất 2n(n-2)=2n^2-4n đường chéo song song vs 1 cạnh bất kỳ

đa giác có 2n cạnh --> có n(2n-3) đường chéo

trừ đi -->ok

 

[kool_boy_98]

Đây là bài làm của mình [Chém bừa =))]

1a) Làm nhầm roài =))

b) Giả sử $p$ \geq $q$ ta có: $2^{2p}+2^{2q}=4^q(4^{p-q}+1)$

$4^q$ là số chính phương nên cần chứng minh $(4^{p-q}+1)$ không là số chính phương.

Giả sử $4^{p-q}+1=(2k+1)^2 (k \in N)$

\Leftrightarrow $4^{p-q-1}=k(k+1)$

Vô lí vì tích hai số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương.

Vậy ta có: $2^{2p}+2^{2q}$ không là số chính phương với mọi $p,q$ là các số nguyên không âm.

2. a) Vì $x=0$ không phải nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của phương trình cho $x^2$, ta được:

$x^4+9=5x(3-x^2)$

\Leftrightarrow $(x-\frac{3}{x})^2+5(x-\frac{3}{x})+6=0$

[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x-\frac{3}{x}=-2}\\{x-\frac{3}{x} = -3} [/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x^2+2x-3=0}\\{x^2+3x-3=0} [/TEX]

[tex]\Leftrightarrow \left[\begin{x=1}\\{x =-3}\\{x=\frac{-3+\sqrt{21}}{2}}\\{x=\frac{-3-\sqrt{21}}{2}} [/tex]

b) Ta có: $x^2+y^2+z^2=14$

\Leftrightarrow $(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=14$

Thay: $x+y+z=6; xy+yz+zx=-1$ vào ta được: $VT=6^2-2.(-1)=36+2=38 \neq VP$

Em nghĩ đề sai :-S

Câu 6: Giả sử có $n(2n-4)+1$ đường chéo song song với cạnh , có $2n$ cạnh nên tồn tại một cạnh song song với $n-1$ đường chéo, vô lí vì mỗi cạnh chỉ song song nhiều nhất $n-2$ đường chéo

Vậy có ít nhất $n(2n-3)-n(2n-4)=n$ đường chéo không song song với bất kì cạnh nào của đa giác.

 

[thaiha_98]

b) Ta có: $x^2+y^2+z^2=14$

\Leftrightarrow $(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=14$

Thay: $x+y+z=6; xy+yz+zx=-1$ vào ta được: $VT=6^2-2.(-1)=36+2=38 \neq VP$

Em nghĩ đề sai :-S

Bài này lừa tình đó
Hệ phương trình đã cho vô nghiệm

 

[linhhuyenvuong]

Đề thi HMEO <Đề chính thức>
--Bảng B--​

Câu 1:
a)(3 đ) Chứng minh rẳng $A=(2^n-1)(2^n+1)$ chia hết cho $3$ với mọi số tự nhiên $n$

Cái câu này tui nghĩ nó đơn giản hơn nhiều.
[TEX](2^n-1).2^n(2^n+1) \vdots 3[/TEX]
[TEX]2^n \not\vdots 3[/TEX]
\Rightarrow đpcm

 

[son9701]

Câu 1:
b)(4 đ) Chứng minh rằng $2^{2p}+2^{2q}$ không thể là số chính phương với mọi $p,q$ là các số nguyên không âm


[/SIZE]

Cách khác cho câu này : Ta có : [TEX]2^{2p}+2^{2q} = 4^p+4^q [/TEX]
Vì [TEX]4 \equiv 1(mod 3) \Rightarrow 4^p \equiv 4^q \equiv 1 (mod 3) \Rightarrow 2^{2p}+2^{2q} \equiv 2 (mod 3)[/TEX]

Mà 1 số chính phương chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1 nên ta có đpcm

 

[minhtuyb]

Mình sẽ post trước đáp án 4 câu do giới hạn 12000 kí tự. Câu 5,6 sẽ post sau

Đáp án đề thi HMEO
--Bảng B--
​

Câu 1:
a)(3 đ) Chứng minh rẳng $A=(2^n-1)(2^n+1)$ chia hết cho $3$ với mọi số tự nhiên $n$

Có: $A=(2^n-1)(2^n+1)=4^n-1$
Xét modun 3:
$+)4\equiv 1\ (mod\ 3)\\ \Rightarrow 4^n\equiv 1^n\equiv 1\ (mod\ 3)\\ \Rightarrow 4^n-1\equiv 1-1\equiv 0\ (mod\ 3)$
Hay $A\vdots 3\ \square$

b)(4 đ) Chứng minh rằng $2^{2p}+2^{2q}$ không thể là số chính phương với mọi $p,q$ là các số nguyên không âm

*Bổ đề: Một số chính phương chia 3 dư 0,1.
Thật vậy, xét số tự nhiên $n$. Xảy ra ba trường hợp:
+) Nếu $n\equiv 0\ (mod\ 3)\Rightarrow n^2\equiv 0\ (mod\ 3)$
+) Nếu $n\equiv 1\ (mod\ 3)\Rightarrow n^2\equiv 1^2\equiv 1\ (mod\ 3)$
+) Nếu $n\equiv 2\ (mod\ 3)\Rightarrow n^2\equiv 2^2\equiv 1\ (mod\ 3)$
Vậy ta có: $n^2\equiv 0,1\ (mod\ 3)\ \blacklozenge$
*Áp dụng bổ đề ta có:
$$2^{2p}+2^{2q}\equiv (-1)^{2p}+(-1)^{2q}\equiv 2\ (mod\ 3)$$
Theo bổ đề thì một số chính phương chia 3 dư 0,1 nên $2^{2p}+2^{2q}$ không thể là số chính phương $\square$

Câu 2: Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

$a)\ (3,5 d) \ x^4+9=5x(3-x^2)\ (I)$
$b\ (3,5 d) \left\{\begin{matrix}x+y+z=6\\ xy+yz+zx=-1\\ x^2+y^2+z^2=14\end{matrix}\right.\ (II)$

a) Với $x=0$ thì: $VT(I)=9\ne 0=VP(I)$
Vậy $x=0$ không là nghiệm của phương trình
-Với $x\ne 0$, chia 2 vế của $(I)$ cho $x^2\ne 0$ , ta có:
$$(I) \Leftrightarrow x^2+\frac{9}{x^2}+5(x-\frac{3}{x})=0\\ \Leftrightarrow (x-\frac{3}{x})^2+5(x-\frac{3}{x})+6=0\\$$ $$ \Leftrightarrow x-\frac{3}{x}=-2 \vee x-\frac{3}{x} = -3
\\ \Leftrightarrow x=1\vee x =-3\vee x=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{2}\vee x=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{2}$$
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm $x=1;x=-3;x=\dfrac{-3+\sqrt{21}}{2};x=\dfrac{-3-\sqrt{21}}{2}$

b) Bình phương phương trình đầu của hệ thu được:
$$(x+y+z)^2=36\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=36$$
Trừ phương trình trên cho phương trình thứ 3 của hệ thu được:
$$2(xy+yz+zx)=12\\ \Leftrightarrow xy+yz+zx=6$$
Tuy nhiên điều này mâu thuẫn với phương trình thứ 2 của hệ. Vậy hệ đã cho vô nghiệm $\square$

Câu 3: (7 đ) Cho hai hàm số:
$$A(x)=x^3+ax^2+bx+c\\ B(x)=x^2+x+2012$$
Biết rằng phương trình $A(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt và phương trình $A\left [ B(x) \right ]=0$ vô nghiệm.
Chứng minh rằng: $\large{A(2012)>\frac{1}{64}}$

Theo giả thiết, phương trình $A(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt, gọi ba nghiệm đó là $x_1;x_2;x_3$. Theo định lí Bơ-du thì $A(x)$ có thể được phân tích thành dạng:
$A(x)=m(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$ với $m\ne 0$. Ta để ý hạng tử bậc 3 của $A(x)$ có hệ số là $(1)$ nên $m=1$, hay:
$$A(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$$
-Ta có: phương trình $A\left [ B(x) \right ]=0$ vô nghiệm
$\Leftrightarrow$ phương trình $(x^2+x+2012-x_1)(x^2+x+2012-x_2)(x^2+x+2012-x_3)=0$ vô nghiệm
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x^2+x+2012-x_1\ne 0\\ x^2+x+2012-x_2\ne 0\\ x^2+x+2012-x_3\ne 0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Delta_1=1-4(2012-x_1)<0\\ \Delta_2=1-4(2012-x_2)<0\\\Delta_3=1-4(2012-x_3)<0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2012-x_1>\dfrac{1}{4}\\ 2012-x_2>\dfrac{1}{4}\\ 2012-x_3>\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow A(2012)=(2012-x_1)(2012-x_2)(2012-x_3)>\frac{1}{64}\ \square$$

Câu 4:
a) (3 đ) Cho hai điểm $A(2;3)$ và $B(7;7)$ trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Tìm điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ để $MA+MB$ đạt GTNN. Tìm GTNN đó.

-Lấy điểm $A’$ đối xứng với $A$ qua $Ox\Rightarrow A’(2;-3)$. Gọi $M$ là giao điểm của $A’B$ với trục $Ox$. Giả sử $N$ là một điểm thuộc $Ox$ và $N\ne M$, ta có $MA=MA’;NA=NA’$
$\Rightarrow NA+NB=NA’+NB>A’B=MA+MB$ (BĐT tam giác)
Do vậy điểm $M$ cần tìm là giao điểm của $A’B$ với $Ox$. Phương trình đường thẳng $A’B$ có dạng : $y=ax+b$. Thay tọa độ của $A’$ và $B$ vào phương trình ta được :
$$\left\{\begin{matrix}7a+b=7\\ 2a+b=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=2\\ b=-7\end{matrix}\right.$$
-Vậy đường thẳng $A’B$ có phương trình :$y=2x-7$
Cho$y=0\Rightarrow x=\frac{7}{2}$. Vậy điểm $M$ cần tìm là $M(3,5;0)$. GTNN đó là:
$$AM+MB=A’B=\sqrt{(x_B-x_{A’})^2+(y_B-y_{A’})^2}=\sqrt{(7-2)^2+(7+3)^2}=5\sqrt{5}$$
Vậy $min(AM+MB)= 5\sqrt{5}$ khi $M(3,5;0)$

b) (4 đ) Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho 3 hàm số sau:
$$(1): y=-x+1\\ (2): y=x-1\\ (3):y=-ax+a^3-a^2-\frac{1}{3}$$
(Với $a$ là tham số)
Tìm $a$ để đồ thị của 3 hàm số trên đồng quy.

Giả sử đồ thị 3 hàm số trên đồng quy tại một điểm $M(x_1;y_1)$. Thay tọa độ điểm $M$ vào 3 phương trìn, ta có hệ:
$$\left\{\begin{matrix}y_1=-x_1+1\\y_1=x_1-1 \\ y_1=-ax_1+a^3-a^2-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=1\\y_1=0 \\ y_1=-ax_1+a^3-a^2-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.$$
-Phương trình thứ $3$ tương đương với:
$$0=-a+a^3-a^2-\frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow 3a^3=3a^2+3a+1\\ \Leftrightarrow 4a^3=a^3+3a^2+3a+1=(a+1)^3\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{4}a=a+1\\ \Leftrightarrow a= \frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$$
Vậy với $a= \dfrac{1}{\sqrt[3]{4}-1}$ thì đồ thị 3 hàm số trên đồng quy

 

[minhtuyb]

Nốt đáp án 2 câu cuối ^_^:

Câu 5:
a) (4 đ) Cho $\Delta ABC$ nhọn ngoại tiếp đường tròn $(O)$ tiếp xúc với $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$. Lấy $M$ bất kì trên đoạn $AD$ khác $A,D$. $CM$ cắt $DE$ tại $I$.
Chứng minh rằng: $\large{\frac{IM}{IC}=\frac{DM}{CE}}$

-Trên đường thẳng $AE$ lấy điểm $K$ sao cho $CK// DM$. Theo địnl lí Ta-let, ta có:
$$\frac{IM}{IC}=\frac{DM}{CK}\ (1)$$
Mặt khác :
$$\widehat{CKE}=\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\widehat{CEK}$$
$\Rightarrow \Delta CKE$ cân tại $C\Rightarrow CE=CK\ (2)$
-Thế $(1)$ vào $(2)$ ta có :
$$\frac{IM}{IC}=\frac{DM}{CE}\ \square$$
Ngoài ra bài này còn có rất nhiều cách kẻ đường phụ để chứng minh. Ví dụ kẻ $MH// DE(H\in AC)$ hoặc $ML// AC (L\in DE)$

b) (3 đ) Cho hình chữ nhật $ABCD$. Một góc vuông $xAy$ quay xung quanh $A$. Các tia $Ax,Ay$ lần lượt cắt đoạn thẳng $BC$, đường thẳng $CD$ tại $M,N$. Gọi $E$ là đỉnh thứ tư của hình chứ nhật $MANE$

Chứng minh rằng: $AC\perp CE$

-Có $\widehat{MAN}=\widehat{MEN}=\widehat{BCN}=90^o$ nên 5 điểm $A,M,E,C,N$ nằm trên đường tròn đường kính $MN$.
-Vì $\widehat{ACE}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn trên suy ra $\widehat{ACE}=90^o$ hay $AC\perp CE\ \square$

Câu 6: (7 đ) Chứng minh rằng trong đa giác lồi $2n$ cạnh $n\in \mathbb{N}, n\ge 2$, luôn tồn tại ít nhất $n$ đường chéo không song song với bất kì cạnh nà-o của đa giác đó

-Lấy một cạnh bất kì của đa giác, giả sử cạnh đó là ${A}_{i}{A}_{i+1}\ (i\in \mathbb{N^*})$ ta chứng minh không có quá $(n-2)$ đường chéo của đa giác song song với ${A}_{i}{A}_{i+1}$.
Thật vậy, gọi số đường chéo của đa giác song song với ${A}_{i}{A}_{i+1}$ là $k\ (k\in \mathbb{N^*})$, kí hiệu đường thẳng chứa chúng là ${d}_{1}; {d}_{2};....;{d}_{k}$ thì tất cả các đường thẳng ${d}_{1}; {d}_{2};....;{d}_{k}$ nằm về một phía của đường thẳng ${A}_{i}{A}_{i+1}$. Theo nguyên lí cực hạn, luôn tồn tại đường thẳng xa ${A}_{i}{A}_{i+1}$ nhất. Giả sử đó là đường thẳng ${d}_{k}$. Khi đó vì ${d}_{k}$ chứa một đường chéo nên có ít nhất một đỉnh ${A}_{j}$ của đa giác nằm khác phía với ${A}_{i}{A}_{i+1}$ đối với ${d}_{k}$. Do vậy số đỉnh của đa giác gồm ${A}_{i};{A}_{i+1}$ và các đầu mút của các đường chéo song song với nó bé hơn $2n$ hay:

$2+2k<2n \Rightarrow k < n-1 \Rightarrow k \leq n-2$

Vậy nếu lấy một cạnh bất kì của đa giác thì số đường chéo song song với nó không vượt quá $(n-2)$. Vì đa giác có $2n$ cạnh nên số đường chéo song song với ít nhất một cạnh không vượt quá:

$2n(n-2)=2n^2-4n$

Ta biết rằng số đường chéo của 2n - giác lồi bằng:

$\frac{(2n-3)2n}{2}=2n^2-3n=(2n^2-4n)+n$

Trong chúng số đường chéo song song với ít nhất một cạnh không vượt quá$(2n^2-4n)$ nên còn lại ít nhất $n$ đường chéo không song song với bất kì cạnh nào $\square$
$$\text{-----------------------HẾT-----------------------}$$