đề thi đội tuyển khó

T

thaolovely1412

a) Tứ giác AEMF có: [TEX]\hat{A}=90^o[/TEX]; [TEX]\widehat{AEM}=90^o[/TEX], [TEX]\widehat{AFM}=90^o[/TEX]
\Rightarrow AEMF là hcn
\Rightarrow AE=MF
Tam giác FMD có: [TEX]\widehat{MFD}=90^o[/TEX], [TEX]\widehat{FDM}=45^o[/TEX] (ABCD là hình vuông)
\Rightarrow Tam giác FMD vuông cận tại F \Rightarrow MF=FD
Xét tam giác AED và tam giác DFC có:
[TEX]\widehat{EAD}=\widehat{FDC}=90^o[/TEX]
AD=DC (ABCD là hv)
AE=DF(=MF)
 
T

thaolovely1412

b)Tam giác BEM có: [TEX]\widehat{BEM}=90^o[/TEX], [TEX]\widehat{MBE}=45^o[/TEX]
\Rightarrow Tam giác BEM vuông cân tại E
\Rightarrow BE=EM
mà AEMF là hcn nên AF=EM \Rightarrow BE=AF
Xét tam giác CBE và tam giác BAF có:
[TEX]\widehat{CBE}=\widehat{BAF}=90^o[/TEX]
BE=AF
CB=AB(ABCD là hv)
\Rightarrow tam giác CBE=tam giác BAF (c.g.c)
\Rightarrow [TEX]\widehat{CEB}=\widehat{BFA}[/TEX]
mà[TEX] \widehat{BFA}+\widehat{ABF}=90^o \Rightarrow \widehat{CEB}+\widehat{ABF}=90^o[/TEX]
\Rightarrow CE vuông góc BF (1)
tam giác AED=tam giác DFC (cmt), cmtt như trên ta được: DE vuông góc CF (2)
Lại có: MC=MA=FE. Do đó: tam giác MCF=tam giác FED (c.c.c)
\Rightarrow[TEX] \widehat{MCF}=\widehat{FED}[/TEX]
mà [TEX]\widehat{FED}+\widehat{CFE}=90^o[/TEX]
\Rightarrow[TEX] \widehat{MCF}+\widehat{CFE}=90^o[/TEX]
Gọi giao điểm của CM với EF là I, ta có: [TEX]\widehat{CIF}=90^o[/TEX]
\Rightarrow CM vuông góc EF (3)
Từ (1),(2),(3) \Rightarrow đpcm


 
Last edited by a moderator:
T

thaolovely1412

c)Đặt ME=AF=x, FD=MF=y,AD=a
Ta có: x+y=AF+FD=AD=a
ta có: [TEX]x^2+y^2 \geq 2xy [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x+y)^2 \geq 4xy[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX] xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{a^2}{4}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=y \Leftrightarrow FA=FB
Khi đó M là trung điểm của BD
\Rightarrow ME.MF max \Leftrightarrow M là trung điểm BD

 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom