Toán 12 [Đề thi] Đề thi chọn HSG lớp 12 thành phố Hà Nội 2020-2021

[iceghost]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ngày: 29/09/2020
Thời gian làm bài: 180 phút
-----

Bài I (4 điểm)
Cho hàm số $y = x^3 - \dfrac{3}2 mx^2 + m^3$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $A$, $B$ sao cho tam giác $ABO$ có diện tích bằng $32$ (với $O$ là gốc tọa độ).

Bài II (6 điểm)

1. Giải phương trình $x^3 + 1 = \sqrt{4x - 3} + \sqrt{2x - 1}$.
2. Giải hệ phương trình $\begin{cases} y^3 + y = x^2 + 2 \\ 8y^3 - 3y = 2x^2 - \sqrt[3]{2x^2 + y + 7} + 7 \end{cases}$.

Bài III (2 điểm)
Cho đa giác đều $30$ đỉnh $A_1A_2\ldots A_{39}$. Hỏi có bao nhiêu tam giác có $3$ đỉnh là $3$ điểm trong số $30$ điểm $A_1$, $A_2$, ..., $A_{30}$ đồng thời không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

Bài IV (3 điểm)
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $1$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh $AB$, $A'D'$ sao cho đường thẳng $MN$ tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^\circ$.

1. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.
2. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $CC'$.

Bài V (3 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1 = 6, u_{n+1} = \dfrac{1}2 (u_n^2 - 4 u_n + 9); n = 1, 2, \ldots$

1. Chứng minh dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng.
2. Chứng minh $\dfrac{1}{u_1 - 1} + \dfrac{1}{u_2 - 1} + \ldots + \dfrac{1}{u_{2020} - 1} < \dfrac{1}3$.

Bài VI (2 điểm)
Với $a, b, c$ là các số thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca + 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = (a - b)(b - c)(c - a)$.

 

[Lê.T.Hà]

Em thử câu bất:
Đặt [tex](a-b;b-c;c-a)=(x;y;z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+y+z=0 & \\ x^2+y^2+z^2=2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=12 & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow xy+yz+zx=\frac{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=-6[/tex]
[tex]\Rightarrow yz=-6-x(y+z)=-6-x(-x)=x^2-6[/tex]
[tex]\Rightarrow P=xyz=x(x^2-6)=x^3-6x[/tex]
Lại có: [tex]12=x^2+y^2+z^2\geq x^2+\frac{1}{2}(y+z)^2=\frac{3}{2}x^2\Rightarrow -2\sqrt{2}\leq x\leq 2\sqrt{2}[/tex]
Xét hàm [tex]f(x)=x^3-6x[/tex] trên [tex][-2\sqrt{2};2\sqrt{2}][/tex] ta được [tex]y_{min}=-4\sqrt{2}[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

2.
a.
[tex]\Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)+(2x-1-\sqrt{4x-3})+(x-\sqrt{2x-1})=0[/tex]
b.
Từ pt đầu [tex]x^2=(y-1)(y^2+y+2)\geq 0\Rightarrow y\geq 1[/tex]
Đặt [tex]\sqrt[3]{2x^2+y+7}=t\Rightarrow 2x^2=t^3-y-7[/tex]
Pt dưới trở thành: [tex]8y^3-3y=t^3-y-7-t+7\Leftrightarrow 8y^3-2y=t^3-t[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (t-2y)(t^2+2y.t+4y^2-1)=0[/tex]
Xét [tex]t^2+2yt+4y^2-1=0\Rightarrow \Delta '=1-3y^2<0; \forall y\geq 1[/tex] (vô nghiệm)
[tex]\Rightarrow t=2y[/tex]
5.
a.
[tex]u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{2}(u_{n}-3)^2\geq 0\Rightarrow u_{n+1}\geq u_{n}\geq ...\geq u_{1}=6[/tex]
[tex]\Rightarrow u_{k}\geq 6; \forall k\Rightarrow u_{k}-2>0\Rightarrow \frac{1}{2}(u_{n}-2)^2>0\Rightarrow u_{n+1}>u_{n}[/tex]
Dãy tăng
b.
[tex]2u_{n+1}-6=u_{n}^{2}-4u_{n}+3=(u_{n}-1)(u_{n}-3)\Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}-3}=\frac{2}{(u_{n}-1)(u_{n}-3)}=\frac{1}{u_{n}-3}-\frac{1}{u_{n}-1}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{1}{u_{n}-1}=\frac{1}{u_{n}-3}-\frac{1}{u_{n+1}-3}[/tex]
[tex]\Rightarrow VT=\frac{1}{u_{1}-3}-\frac{1}{u_{2021}-3}<\frac{1}{u_{1}-3}=\frac{1}{3}[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

3.
Số tam giác bất kì có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác: [tex]C_{30}^{3}[/tex]
Ta đi tính số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác:
- TH1: có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác [tex]\Rightarrow[/tex] 3 đỉnh là 3 đỉnh liền kề nhau [tex]\Rightarrow[/tex] n=30 tam giác
- TH2: có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác. Chọn 2 đỉnh kề nhau có 30 cách, chọn đỉnh còn lại ko kề với 2 đỉnh kia: có n-4=26 cách
Vậy có [tex]30+26.30=810[/tex] tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác
Số tam giác thỏa mãn yêu cầu: [tex]C_{30}^{3}-810=3250[/tex]
1.
[tex]y'=3x^2-3mx=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ x=m\neq 0 & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\Rightarrow A(0;m^3);B(m;\frac{m^3}{2})[/tex]
[tex]S_{ABO}=\frac{1}{2}\left | (x_{A}-x_{O})(y_{B}-y_{O})-(x_{B}-x_{O})(y_{A}-y_{O}) \right |=32[/tex]
[tex]\Leftrightarrow m^4=64\Rightarrow m=\pm 2\sqrt{2}[/tex]

 

[Lê.T.Hà]

4,
Qua N kẻ đường thẳng song song A'A cắt AD tại P [tex]\Rightarrow NP\perp (ABCD)\Rightarrow \widehat{NMP}=60^{0}\Rightarrow MN=\frac{NP}{sin60^{0}}=\frac{2}{\sqrt{3}}[/tex]
Pitago: [tex]PM=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
[tex]CC'\mid \mid NP\Rightarrow CC'\mid \mid (MNP)\Rightarrow d(CC';MN)=d(CC';(MNP))=d(C;(MNP))[/tex]
Đặt hệ trục Oxy vào đáy ABCD với A trùng gốc O, tia AB trùng tia Ox, tia AD trùng tia Oy
Gọi [tex]M(a;0); P(0;b); C(1;1)[/tex] với [tex]a^2+b^2=\frac{1}{3}[/tex] và [tex]a;b\geq 0[/tex]
Phương trình MP: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1[/tex] [tex]\Leftrightarrow b.x+a.y-ab=0[/tex]
[tex]d(C;MP)=\frac{\left | a+b-ab \right |}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\left | a+b-ab \right |}{\sqrt{\frac{1}{3}}}[/tex] đạt max khi [tex]P=|a+b-ab|[/tex] đạt max
Đặt [tex]a+b=t\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 0< t\leq \sqrt{\frac{2}{3}} & \\ ab=\frac{t^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{3t^2-1}{6} & \end{matrix}\right.[/tex]
Khảo sát hàm [tex]f(t)=\left | t-\frac{3t^2-1}{6} \right |[/tex] với [tex]0< t\leq \sqrt{\frac{2}{3}}[/tex] ta được [tex]f(t)_{max}=f\left ( \sqrt{\frac{2}{3}} \right )=\frac{2\sqrt{6}-1}{6}[/tex]
[tex]\Rightarrow d_{max}=\frac{f(t)_{max}}{\sqrt{\frac{1}{3}}}=\frac{6\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}[/tex]

 

[Hoàng Vũ Nghị]

E xin góp câu 2.1
Đkxđ : [tex]x\geq \frac{3}{4}[/tex]
Ta có : [tex]x^3+1=\sqrt{4x-3}+\sqrt{2x-1}\leq \frac{4x-3+1}{2}+\frac{2x-1+1}{2}=3x-1\\\Leftrightarrow x^3-3x+2\leq 0\\\Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)\leq 0[/tex]
Do [tex]x\geq \frac{3}{4}[/tex] nên $x+2>0$
Suy ra [tex](x-1)^2\leq 0\\\Rightarrow x=1[/tex]
Thử lại x=1 thỏa mãn
Vậy x=1

 

[Hoàng Vũ Nghị]

2.2
Ta có :
[tex]y\geq 1[/tex] do nếu $y<1$ thì [tex]y^3+y<1^3+1=2\leq x^2+2[/tex]
Lại có
[tex]8y^3-3y=2x^2-\sqrt[3]{2x^2+y+7}+7\\\Leftrightarrow (2x)^3-2y=\sqrt[3]{(2x^2+y+7)^3}-\sqrt[3]{2x^2+y+7}[/tex]
Xét hàm [tex]f(t)=t^3-t[/tex] với [tex]t\geq 1[/tex]
[tex]f'(t)=3t^2-1> 0[/tex]
Suy ra hàm đồng biến với mọi [tex]t\geq 1[/tex]
Do đó [tex]f(2y)=f(\sqrt[3]{x^2+y+7})[/tex]
Nên [tex]2x=\sqrt[3]{2x^2+y+7}\\\Leftrightarrow 8x^3=2x^2+y+7\\\Leftrightarrow 8y^3=2y^3+2y-4+y+7\\\Leftrightarrow 2y^3-y-1=0\\\Leftrightarrow (y-1)(2y^2+2y+1)=0\\\Rightarrow y-1=0\\\Leftrightarrow y=1\\\Rightarrow x=0[/tex]
Vậy (x;y)=(0;1)