[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Đề: CMR với [tex]0<x<1 ; 0<y<1[/tex] thì:
[tex]x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}(*)[/tex]
Giải: Bđt đề cho tương đương:
[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}x\sqrt{1-y^{2}}+\frac{\sqrt{3}}{3}y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{3}{2}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}[/tex] (bạn đọc tự CM) ta có:
[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}x\sqrt{1-y^{2}}\leq \frac{(\frac{\sqrt{3}}{3}x)^{2}+(\sqrt{1-y^{2}})^{2}}{2}= \frac{\frac{1}{3}x^{2}+1-y^{2}}{2}=\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y^{2}[/tex]
tương tự, CM được:[tex]\frac{1}{6}y^{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^{2}[/tex]
thay vào BĐT ta có:
[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}x\sqrt{1-y^{2}}+\frac{\sqrt{3}}{3}y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y^{2}+\frac{1}{6}y^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^{2}\leq \frac{3}{2} \\\Leftrightarrow \frac{-1}{3}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{-1}{3}y^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{1}{2}\leq 0[/tex]
mà:[tex]\frac{-1}{3}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{1}{4} \\=-(\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{1}{2})^{2} \\\frac{-1}{3}y^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{1}{4} \\=-(\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{1}{2})^{2}[/tex]
vậy bđt đúng
dấu "=" xảy ra khi [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}x=\sqrt{1-y^{2}} \\and:\frac{\sqrt{3}}{3}y=\sqrt{1-x^{2}} \Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}(TMDK)[/tex]
[tex]x+y+x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}(*)[/tex]
Giải: Bđt đề cho tương đương:
[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}x\sqrt{1-y^{2}}+\frac{\sqrt{3}}{3}y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{3}{2}[/tex]
Áp dụng BĐT [tex]ab\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2}[/tex] (bạn đọc tự CM) ta có:
[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}x\sqrt{1-y^{2}}\leq \frac{(\frac{\sqrt{3}}{3}x)^{2}+(\sqrt{1-y^{2}})^{2}}{2}= \frac{\frac{1}{3}x^{2}+1-y^{2}}{2}=\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y^{2}[/tex]
tương tự, CM được:[tex]\frac{1}{6}y^{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^{2}[/tex]
thay vào BĐT ta có:
[tex]\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{\sqrt{3}}{3}x\sqrt{1-y^{2}}+\frac{\sqrt{3}}{3}y\sqrt{1-x^{2}}\leq \frac{3}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}y+\frac{1}{6}x^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}y^{2}+\frac{1}{6}y^2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^{2}\leq \frac{3}{2} \\\Leftrightarrow \frac{-1}{3}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{-1}{3}y^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{1}{2}\leq 0[/tex]
mà:[tex]\frac{-1}{3}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{1}{4} \\=-(\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{1}{2})^{2} \\\frac{-1}{3}y^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{1}{4} \\=-(\frac{\sqrt{3}}{3}y-\frac{1}{2})^{2}[/tex]
vậy bđt đúng
dấu "=" xảy ra khi [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}x=\sqrt{1-y^{2}} \\and:\frac{\sqrt{3}}{3}y=\sqrt{1-x^{2}} \Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{3}}{2}(TMDK)[/tex]
