đề thi chuyên toán 9

[karikno1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm các bộ 3 số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn hệ phương trình sau

 

[son9701]

tìm các bộ 3 số nguyên dương (x,y,z) thỏa mãn hệ phương trình sau

Do x+y=z nên [TEX](x+y)^3=z^3 \Leftrightarrow z^2+3xyz=z^3 \Leftrightarrow z+3xy=z^2[/TEX](chia 2 vế cho z khác 0)
Lại thay z=x+y;[TEX]z^2=x^3+y^3[/TEX]vào pt trên ta đc:
[TEX]x+y+3xy=x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)[/TEX]

Đặt x+y=a;xy=b(a;b nguyên dương) ta thu được:
[TEX]a+3b=a^3-3ab \Leftrightarrow (a+1)(a^2-a)-3b(a+1)=0 \Leftrightarrow (a+1)(a^2-a-3b)=0[/TEX]
a=1 --> vô lí do x;y đều lớn hơn bằng 1
Nên [TEX]a^2-a-3b=0 \Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-x-y-3xy=0 \Leftrightarrow x^2-xy+y^2-x-y=0[/TEX]
Coi đây là pt bậc 2 giải theo delta ép delta chính phương là ok.(dạng chính tắc)
Tính được x;y suy ra z

 

[mamatoo]

Còn cách khác nữa này.Dễ hơn nhiều
Luôn có [TEX]x^3+y^3\geq xy(x+y)[/TEX]
Theo đề bài thì [TEX]z^2\geq xyz[/TEX]
\Rightarrow[TEX]z\geq xy[/TEX] Do x, y, z nguyên dương
\Leftrightarrow[TEX]x+y\geq xy[/TEX]
Do x,y có vai trò bình dẳng nên giả sử[TEX] x\geq y[/TEX]
Suy ra [TEX]2x\geq xy[/TEX]
\Rightarrow [TEX]y\leq 2[/TEX]
Giải tiếp là ok!