Đề thi chuyên Quảng Nam

[thuytrangnbk20]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho 2 số x, y thỏa mãn: xy(2013 - $\dfrac{xy}{2}$) = $\dfrac{x^4}{4}$ + $\dfrac{y^4}{4}$ - 2014
Tìm GTLN và GTNN của tích xy.

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 2x-y-$a^2$ = 0 và Parabol (P): y=a$x^2$ ( a là tham số dương)
a) Tìm giá trị a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Chứng tỏ khi đó A và B nằm bên phải trục tung.
b) Gọi $x_{1}$, $x_{2}$ lần lượt là hoành độ của A, B. Tìm GTNN của M = $\dfrac{4}{x_{1} + x_{2}}$ + $\dfrac{1}{x_{1}.x_{2}}$

 

[transformers123]

Bài 1:

Ta có:

$xy(2013-\dfrac{xy}{2})=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{y^4}{4}-2014$

$\iff xy(2013-\dfrac{xy}{2}) \ge \dfrac{x^2y^2}{2}-2014$ (áp dụng bđt Cauchy)

$\iff 2013xy-\dfrac{x^2y^2}{2} \ge \dfrac{x^2y^2}{2}-2014$

$\iff x^2y^2-2013xy-2014 \le 0$

$\iff -1 \le xy \le 2014$

Vậy $\mathfrak{GTNN}$ của $xy=-1$ khi $\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$ hoặc
$\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}$

Vậy $\mathfrak{GTLN}$ của $xy=2014$ khi $x=y=\pm \sqrt{2014}$

 

[eye_smile]

2,

a,Phương trình hoành độ giao điểm:

$ax^2=2x-a^2$

\Leftrightarrow $ax^2-2x+a^2=0$. PT là pt bậc 2.

(d) cắt (P) tại điemer A;B pb \Leftrightarrow PT có 2 nghiệm pb

\Leftrightarrow $\Delta'=(-1)^2-a.a^2=1-a^3>0$

\Leftrightarrow $a<1$

Vậy: $0<a<1$

Theo Vi-et,ta có:

$x_A+x_B=\dfrac{2}{a}>0$

$x_A.x_B=a>0$

nên $x_A;x_B$ cùng dương

\Rightarrow A;B nằm về bên phải trục tung.

b,ĐK: $0<a<1$

$M=\dfrac{4}{\dfrac{2}{a}}+\dfrac{1}{a}=2a+\dfrac{1}{a} \ge 2\sqrt{2}$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $a=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$