Đề thi chuyên Hà Nội 2007-2008 toán tin

[mymi371995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT
NĂM HỌC 2007-2008
​

Bài 1: (3 điểm)
Cho phương trình: x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0(1)
1) Tìm nghiệm (x:y) của phương trình (1) thoả mãn x^2+y^2=10
2)Tìm nghiệm nguyên của phương trình (1)
Bài 2: (4 điểm)
Cho điểm A di chuyển trên đường tròn tâm O đường kính BC=2R(A không trùng B và C). Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC và I là trung điểm HC.
1)C/m M chuyển động trên một đường tròn cố định
2)C/m tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA
3) C/m MH vuông góc với IA
4) MH cắt (O) tại E và F, AI cắt (O) tại điểm thứ hai G. C/m tổng các bình phương các cạnh của tứ giác AEGF không đổi
Bài 3: (1 điểm)
Tìm số nhỏ nhất trong các số nguyên dương là bội của 2007 và có 4 chữ số cuối cùng là 2008
Bài 4: (1 điểm)
Cho một lưới vuông kích thước 5.5. Người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các số -1;1;0. Xét tổng các số được tính theo từng cột ,theo từng hàng và theo từng đường chéo. C/m trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại hai tổng có giá trị bằng nhau
Bài 5: (1 điểm)
Tính tổng sau theo n(n thuộc N*)
S=2^(n-1)+2.2^(n-2)+3.2^(n-3)+.............+(n-1).2+n

 

[nhockthongay_girlkute]

bài 1
xét ft [TEX]x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0[/TEX](1)
1,với [TEX]x^2+y^2=10[/TEX]\Rightarrow[TEX]x^2=10-y^2[/TEX](2)
thay vào (1) ta đc ft [TEX]4y^2+2(5-x)y+2x-14=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]4y^2-4y-2xy+2x+14y-14=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](y-1)(4y-2x+14)=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left{\begin{y=1}\\{x=2y+7}[/TEX]
với y=1\Rightarrowx=3 hoặc x=-3
với x=2y+7 thay vào (2) ta đc [TEX]5y^2+25y+39=0[/TEX]
giải ft ta đc y1=-3;y2=[TEX]\frac{-13}{5}[/TEX]
\Rightarrowx1=1;x2=[TEX]\frac{9}{5}[/TEX]
vậy ..........................
2, (1)\Leftrightarrow[TEX][x^2+2x(y-1)+(y-1)^2]-(4y^2+8y+4)+7=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x+y-1)^2-(2y+2)^2+7=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x+3y+1)(x-y-3)=-7[/TEX]
tacó -7=1.(-7)=(-1).7
đến đây xét 4 trưòng hợp ....................
từ đó ta tìm đc (x;y)[TEX]\in\[/TEX]{(7;-3};(1;-3);(3;1);(-3;1)}

 

[nhockthongay_girlkute]

bài 2
1; lấy O' đối xứng vs O qua B\RightarrowO' cố định
xét tứ giác AOMO' có 2 đưong chéo AM & OO' cắt nhau tại trung điểm B của mỗi đưòng
\RightarrowAOMO' là hình bình hành \Rightarrow O'M =OA=R ko đổi
vậy M [TEX]\in\[/TEX](O';R)
2, ta có [TEX]\hat{BAC}=90^0[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\hat{MAH}=\hat{ACI}[/TEX]( cung phụ vs [TEX]\hat{HAC}[/TEX])
mà [TEX]\frac{CH}{AH}[/TEX]=cotgC=[TEX]\frac{AC}{AB}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{\frac{1}{2}HC}{AH}=\frac{AC}{2AB}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\frac{CI}{AH}=\frac{AC}{AM}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\triangle\[/TEX]AHM đông dạng vs [TEX]\triangle\[/TEX]CIA(c.g.c)
3,theo 2 ta có [TEX]\hat{CAI}=\hat{AMH}[/TEX]
\Rightarrow[TEX]\hat{CAI}+\hat{BAI}=\hat{AMH}+\hat{BAI}=90^0[/TEX]
\Rightarrow MH[TEX]\bot\[/TEX]AI
4,Lấy D' đối xứng vs G qua O \Rightarrow[TEX]\hat{GAD}=90^0[/TEX]
THEO 3 MH[TEX]\bot\[/TEX]AI\Rightarrow EF[TEX]\bot\[/TEX]AG
\Rightarrow AD//EF \RightarrowADFE là hình thang cân\Rightarrow AE=DF và AF=DE
TA CÓ [TEX]AE^2+GF^2=DF^2+GF^2=DG^2=4R^2[/TEX]
[TEX]AF^2+EG^2=DE^2+EG^2=DG^2=4R^2[/TEX]
\Rightarrow[TEX]AE^2+EG^2+AF^2+GF^2=8R^2[/TEX] ko đổi

 

[nhockthongay_girlkute]

bài4
theo hang có 5 tổng theo cột có 5 tổng theo đường chéo có 2 tổng
vậy có tất cả 12 tổng
vì mỗi tổng có 5 số hạng chỉ gồm 3 số 1;0&-1
nên mỗi tổng chỉ nhận ko quá 11 giá trị{-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5}
theo nguyen tắc Đi-rich-le có ít nhất 2 tổng có giá trị = nhau

 

[nhockthongay_girlkute]

S=[tex]2^{n-1}+(1+1).2^{2n-2}+(1+2).2^{2n-3}+.........(1+n-2).2+(1+n+1).1[/tex]
=[TEX](2^{n-1}+2^{n-2}+......+2+1)+[1.2^{n-2}+2.2^{n-3}+3.2^{n-4}+....+(n-2)2+(n-1).1][/TEX]
=[TEX]2^n-1+[1.2^{n-2}+2.2^{n-3}+3.2^{n-4}+....+(n-2)2+(n-1).1][/TEX]
đặt S1=[TEX][1.2^{n-2}+2.2^{n-3}+3.2^{n-4}+....+(n-2)2+(n-1).1][/TEX]
\Rightarrow S=[TEX]2^n-1+S1[/TEX]
ta có 2S1=[TEX]1.2^{n-1}+2.2^{n-2}+3.3^{n-3}+.....+2(n-1)[/TEX]=S-n
\RightarrowS1=[TEX]\frac{S-n}{2}[/TEX]
vậy S=[TEX]2^n-1+\frac{s-n}{2}[/TEX]
\Rightarrow2S=[TEX]2.(2^n-1)[/TEX]+S-n
\Rightarrow S=[TEX]2.(2^n-1)-n[/TEX]

 

[mymi371995]

Bạn nhockthongay xem lại đề bài bài 5 đi. Hình như bạn viết sai đề. Mình không hiểu lắm.

 

[rua_it]

Bài 5: (1 điểm)
Tính tổng sau theo n(n thuộc N*)
S=2^(n-1)+2.2^(n-2)+3.2^(n-3)+.............+(n-1).2+n

[tex]\mathrm{Xet:A=k.2^{n-k}(1 \leq k \leq n)[/tex]

[tex]2^{n-k}=2^{n-1-(k-1)}=\frac{2^{n-1}}{2^{k-1}}[/tex]
[tex]S=1.2^{(n-1)} + 2.2^{(n-2)} + 3.2^{(n-3)} + . . . + (n-3).2^{[n-(n-3)]} + (n-2).2^2 + (n-1).2^1 + n.2^0[/tex]

[tex]=1.2^{n-1}+2.\frac{2^{n-1}}{2}+3.\frac{2^{n-1}}{2^2}+4.\frac{2^{n-1}}{2^3}+...+(n-1).\frac{2^{n-1}}{2^{n-2}}+n.\frac{2^{n-1}}{2^{n-1}}[/tex]

[tex]=2^{n-1}.(1+1+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{n-1}{2^{n-2}}+\frac{n}{2^{n-1}})[/tex]

[tex]=2^n.(1+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+...+\frac{n-1}{2^{n-1}}+\frac{n}{2^{n}})[/tex]

[tex]\mathrm{\frac{k}{2^{k}}[/tex]
=((