Cơ mà nghĩ lại thì tớ thấy đk này cũng khá được !
Dấu "=" $\leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2 \\ \dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c} \\ a^3+b^3+c^3=3\end{matrix}\right.$
Không biết mọi người nghĩ sao....
Tớ nghĩ dấu "=" ở (3) xảy ra khi dấu "=" ở (1) và (2) xảy ra cùng lúc chớ.......
------------------
@ vuiveyeudoi: vậy nếu em trình bày theo kiểu xét dấu "=" của từng bdt nhỏ sau đó gom lại thì nó vẫn là $a=b=c=1$ mà! :-/
Em có xét kiểu gì thì bất đẳng thức cuối cũng không đúng theo như anh đã chỉ ra một phản ví dụ . Dùng một lý lẽ không đúng mà đưa ra kết luận cuối cùng trong một bài toán thì không có ổn chút nào rồi .
Thực tế trong điều kiện bài toán là $ \displaystyle a,b,c > 0 \ ; \ a^3+b^3+c^3=3 $ thì bất đẳng thức
$$ 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} \ge 27 $$
không đúng .
Chẳng hạn như có thể chỉ ra một phản ví dụ là $ \displaystyle a=\frac{5}{4} \ ; \ b=\frac{3}{10} \ ; \ c=\sqrt[3]{3-a^3-b^3} \approx 1.006581588 $ thì khi đó
$$ 15\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+12\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} \approx 24.43882515 < 27 $$
Các bất đẳng thức em dùng để đánh giá như hôm qua anh đánh số $ \displaystyle (1) \ ; \ (2) \ ; \ (3) $ , bản thân dấu đẳng thức ở mỗi đánh giá là độc lập với nhau , chẳng liên quan gì nhau đâu mà tự dưng đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle (1) \ ; \ (2) $ là $ \displaystyle a=b=c=1 $ , thế là tự thay vào $ \displaystyle (3) $ được .
Tất nhiên cái chuyện đoán dấu bằng xảy ra là để em định hướng được những đánh giá phù hợp để đẳng thức đảm bảo xảy ra thôi . Chứ nếu muốn bảo là cái hàm $ f \left(a,b,c \right) $ nào đó đạt cực trị tại chỗ nào đó thì phải chứng minh ra , ví dụ như bằng công cụ đạo hàm , bằng hàm lồi lõm gì gì đấy , ...
Bạn nào có cách áp dụng bdt cô si để giải bài đó ko????
Còn về cái này .
Cách giải khác thì cũng có thôi .
Chỉ là anh nghĩ cách hôm qua anh viết ra là là tự nhiên , quen thuộc và dùng được nhiều trong các trường hợp khác nên anh mới viết .
Tất nhiên anh nghĩ vậy không có nghĩa là em cũng nghĩ vậy , em muốn thì cứ suy nghĩ cách khác rồi viết ra đây mọi người sẽ góp ý cho em . Ở đây anh muốn viết rõ hơn một tí thôi .
Ví dụ như trong điều kiện bài toán là $ \displaystyle a,b,c > 0 \ ; \ a^3+b^3+c^3=3 $ thì bất đẳng thức sau là một bất đẳng thức đúng
$$ 5a^2+\frac{4}{a} \ge 2a^3+7 \quad{(4)} $$
Theo đề bài thì $ \displaystyle 0 < a < \sqrt[3]{3} $ nên $ 4+a-2a^2 >0 $.
Vậy nên tất nhiên là
$$ 5a^2+\frac{4}{a} -2a^3-7=\frac{\left( a-1 \right)^2 \left( 4+a-2a^2 \right)}{a} \ge 0$$
Bất đẳng thức $ \displaystyle (4) $ đúng với đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle a=1 $.
Tương tự vậy cũng có
$$ 5b^2+\frac{4}{b} \ge 2b^3+7 \quad{(5)} $$
với đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle b=1 $.
Và
$$ 5c^2+\frac{4}{c} \ge 2c^3+7 \quad{(6)} $$
với đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle c=1 $.
Từ $ \displaystyle (4) \ ; \ (5) \ ; \ (6) $ có
$$ P=5a^2+\frac{4}{a}+5b^2+\frac{4}{b}+5c^2+\frac{4}{c} \ge 2 \left( a^3+b^3+c^3 \right)+21=2 \cdot 3 +21=27 $$
Với đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle a=b=c=1 $.
Vậy
$$ \min \ P=27 $$
Trong phép chứng minh bên trên .
Điểm quan trọng nhất là chuyện tìm ra bất đẳng thức
$$ 5a^2+\frac{4}{a} \ge 2a^3+7 \quad{(4)} $$
Tất nhiên là cái gì cũng có lý do của nó , chứ không phải từ trên trời rớt xuống , hay viết bừa nó ra vậy rồi .
Ở đây , trong hoàn cảnh bài toán , nếu tìm được các bất đẳng thức dạng
$$ 5a^2+\frac{4}{a} \ge m a^3 +n \quad{(5)} $$
thì quá tốt
.
Như dự đoán trước thì đẳng thức xảy ra tại $ \displaystyle a=1 $ .
Như thế thì từ $ \displaystyle (5)$ sẽ phải có
$$ 9=m+n $$
Lúc đó $ \displaystyle (5) $ trở thành
$$5a^2+\frac{4}{a} \ge m \left( a^3-1 \right) +9 $$
Tương đương với
$$ \left( a-1 \right) \left( \frac{5a^2+5a+4}{a}- m \left( a^2+a+1 \right) \right) \ge 0 $$
Nếu như
$$ g \left( a \right) =\frac{5a^2+5a+4}{a}- m \left( a^2+a+1 \right)= \left( a -1 \right) \cdot f \left( a \right) $$
với $ \displaystyle f \left( a \right) \ge 0 $ thì $ \displaystyle (5) $ tương đương với một bất đẳng thức đúng
$$ \left( a-1 \right)^2 \cdot f \left( a \right) \ge 0 $$
Muốn vậy
$$ g \left( 1 \right) =6-3m=0 $$
Suy ra
$$ m=2 \ ; \ n=9-m=7 $$
Từ đó dẫn tới bất đẳng thức
$$ 5a^2+\frac{4}{a} \ge 2a^3+7 $$
Cuối cùng thì là phải chứng minh trong điều kiện đề bài $ a \in \left( 0 \ ; \ \sqrt[3]{3} \right) $ thì bất đẳng thức trên là đúng . Bên trên anh đã chứng minh rồi . Giờ chỉ ráp vào là có ngay kết quả thôi .
Cái quan trọng là cách suy nghĩ này dùng được trong nhiều bài toán khác nữa .
Chẳng hạn như là với các số thực dương $ \displaystyle a,b,c \ ; \ a^2+b^2+c^2=3 $ thì sẽ chứng minh được rằng
$$ \frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c} \le 1 $$
bằng cách thiết lập ra bất đẳng thức
$$ \frac{1}{4-a} \le \frac{a^2+5}{18} $$
Ví dụ như vậy .
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn