Đề thi chọn lọc

[pe_chau_hocgioi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác của góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại P.
a) Cm DA.DP=DB.DC và AB.AC=AD.AP Suy ra $AD^2$ =AB.AC-DB.DC
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC ( H thuộc BC). Cm AD cũng là phân giác của góc OAH.
c) Đường trung tuyến AM (M thuộc BC) của tam giác ABC cắt (O) tại Q. Gọi E là điểm đối xứng của D qua M. Cm PMEQ nội tiếp.
d) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Cm: BK, CI và QE đồng qui tại điểm thuộc đường tròn (O).

 

[forum_]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác của góc BAC cắt BC tại D
và cắt (O) tại P.
a) Cm DA.DP=DB.DC và AB.AC=AD.AP Suy ra $AD^2$ =AB.AC-DB.DC

*CM DA.DP = DB.DC:

Dễ thấy tam giác ADB đông dạng với tam giác CDP ( g-g)

==> DA.DP=DB.DC

*CM AB.AC = AD.AE và $AD^2 = AB.AC-DB.DC$

Dễ thấy:

Tam giác CDP đồng dạng tam giác ADB ( g-g)

==> DB.DC= AD.DP

Tam giác ABD đồng dạng tam giác APC (g-g)

==> AB.AC = AD.AE ==> $AB.AC-DB.DC = AD.AE - AD.AP = AD^2$

 

[forum_]

b/
AO kéo dài cắt (O) ở E
Tam giác AHB và tam giác ACE có:

Góc AHB = góc ACE ( = 90 độ)

Góc ABH = góc AEC ( chắn cung AC)

==> t/giác AHB đồng dạng tam giác ACE

==> góc BAH = góc EAC

Kết hợp góc BAD = góc DAC (gt)

==> ĐPCM

 

[lamnguyen.rs]

c)
Dễ chứng minh PM vuông góc BC, mà DM = EM ==> D đối xứng E qua MP ==> $\widehat{PDM} = \widehat{PEM}$
Ta có:
$\widehat{PDM} = \dfrac{sd AB + sd PC}{2} = \dfrac{sd AB + sd BP}{2} = \dfrac{sdAP}{2}$
$\widehat{AQP} = \dfrac{sd AP}{2}$
Suy ra $\widehat{AQP} = \widehat{PDM}$ ==> $\widehat{AQP} = \widehat{PEM}$
Suy ra MEQP là tứ giác nội tiếp
d)
Gọi giao điểm của QE và (O) là S.
MEQP là tứ giác nội tiếp, mà $\widehat{PME} = 90^0$ ==> $\widehat{PQE} = 90^0$ ==> PS là đường kính của (O).
Suy ra $\widehat{SBP} = 90^0$ ==> BP vuông góc BS.
Mặt khác: $\widehat{CBP} = \widehat{BCP} = \widehat{BAP}$ ==> BP là tiếp tuyến của (K) ==> BP vuông góc với BK ==> B, K, S thẳng hàng ==> BK đi qua S.
Tương tự, CI cũng đi qua S
Vậy 3 đường đó đồng quy tại S thuộc (O).