Đề thi chọn HSG trường THCS Phạm Sư Mạnh, Hải Dương siêu khó

[changruabecon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Đề thi chọn học sinh giỏi năm
năm 2011-2012
Môn toán lớp 8
(thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1(2,5điểm)
a)Phân tích đa thức sau thành nhân tử [TEX]a^3[/TEX]-[TEX]b^3[/TEX]+[TEX]c^3[/TEX]-3abc

b)Cho [TEX]\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c}[/TEX] =0 .Tính giá trị của biểu thức M=[TEX]\frac{bc}{a^2}[/TEX]+[TEX]\frac{ca}{b^2}[/TEX]+[TEX]\frac{ab}{c^2}[/TEX] (với a,b,c khác 0)


Bài 2(2.5điểm)
a) Giải phương trình [TEX]x^8[/TEX]-2[TEX]x^4[/TEX]+[TEX]x^2[/TEX]-2x+2=0

b)Có tồn tại hay không số nguyên dương n sao cho[TEX]n^6[/TEX]+[TEX]26^n[/TEX]=[TEX] $21^{2012}[/TEX]

Bài 3(1,0 điểm)

Rút gọn biểu thức A=[TEX]\frac{2^3-1}{2^3+1}[/TEX]X[TEX]\frac{3^3-1}{3^3+1}[/TEX]X.....X[TEX]\frac{2012^3-1}{2012^3+1}[/TEX]

Bài 4(3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB <AC.Kẻ phân giác AD.Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB,AC. BN cắt CM tại K, AK cắt DM tại I, BN cắt DM tại E,CM cắt DN tại F.
a) Chứng minh rằng AMDN là hình vuông và EF//BC.
b)Chứng minh rằng K làm trực tâm của tam giác AEF.
c) Tính số đo góc BID.
Bài 5(1,0 điểm)
Cho a,b,c,d,e>0 thảo mãn điều kiện A+b+c+d+e=4.
Tìm gíâ trị nhỏ nhất của biểu thức P=[TEX]\frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}[/TEX]

 

[maikhaiok]

Đề thi chọn học sinh giỏi năm
năm 2011-2012
Môn toán lớp 8
(thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1(2,5điểm)
a)Phân tích đa thức sau thành nhân tử [TEX]a^3[/TEX]-[TEX]b^3[/TEX]+[TEX]c^3[/TEX]-3abc

b)Cho [TEX]\frac{1}{a}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{b}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{c}[/TEX] =0 .Tính giá trị của biểu thức M=[TEX]\frac{bc}{a^2}[/TEX]+[TEX]\frac{ca}{b^2}[/TEX]+[TEX]\frac{ab}{c^2}[/TEX] (với a,b,c khác 0)


Bài 2(2.5điểm)
a) Giải phương trình [TEX]x^8[/TEX]-2[TEX]x^4[/TEX]+[TEX]x^2[/TEX]-2x+2=0

Công nhận là "khó" thật :-SS:-SS

Bài 1:
a,[TEX]{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = {(a + b)^3} + {c^3} - 3(a + b + c)[/TEX]

[TEX]= (a + b + c){\rm{[(a + b}}{{\rm{)}}^2} - (a + b)c + {c^2}{\rm{]}} - 3(a + b + c)[/TEX]

[TEX] = (a + b + c)({a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca)[/TEX]

b,[TEX]\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}} = \frac{3}{{abc}}[/TEX]

Vì vậy:

[TEX]M = \frac{{ab}}{{{c^2}}} + \frac{{bc}}{{{a^2}}} + \frac{{ac}}{{{b^2}}} = \frac{{abc}}{{{c^3}}} + \frac{{abc}}{{{a^3}}} + \frac{{abc}}{{{b^3}}} = abc.(\frac{1}{{{a^3}}} + \frac{1}{{{b^3}}} + \frac{1}{{{c^3}}}) = abc.\frac{3}{{abc}} = 3[/TEX]

Vậy ...........

Bài 2:
a,[TEX]{x^8} - 2{x^4} + {x^2} - 2x + 2 = 0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow ({x^8} - 2{x^4} + 1) + ({x^2} - 2x + 1) = 0[/TEX]

[TEX] \Leftrightarrow {({x^4} - 1)^2} + {(x - 1)^2} = 0[/TEX]

[TEX] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^4 - 1 = 0\\ x - 1 = 0 \end{array} \right.[/TEX]

Suy ra x=1

Vậy x=1 là nghiệm của pt :-SS:-SS:-SS:-SS

 

[khanhhotboy98]

Công nhận là "khó" thật :-SS:-SS

Bài 1:
a,[TEX]{a^3} + {b^3} + {c^2} - 3abc = {(a + b)^3} + {c^3} - 3(a + b + c)[/TEX]

lộn đề rồi bạn ơi!

Bài 2:
a) [tex] x^8 -2x^4 +x^2 -2x +2=0 [/tex]
\Leftrightarrow [tex] (x^8-2x^4+1) + (x^2-2x+1)=0 [/tex]
\Leftrightarrow [tex] (x^4-1)^2 +(x-1)^2 =0 [/tex]
\Rightarrow [tex] x^4-1 =0 [/tex]
\Rightarrow [tex] x^2 -1 =0[/tex]
\Rightarrow x=1

mình ms làm đến đây thoy!!!

 

[luuquangthuan]

Bài 3:
A=[TEX]\frac{2,5^2+0,75}{3.(1,5^2+0,75)}[/TEX]X[TEX]\frac{2.(3,5^2+0,75)}{4.(2,5^2+0,75)}[/TEX]........[TEX]\frac{2011.(2012,5^2+0,75)}{2013.(2011,5^2+0,75)}[/TEX]
Tới đây tự rút gọn ta được đáp số

 

[vansang02121998]

Bài 1:

a) $a^3-b^3-c^3-3abc$

$= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3-c^3-3abc+3a^2b-3ab^2$

$= (a-b)^3-c^3-3abc+3ab(a-b)$

$= (a-b-c)[(a-b)^2+(a-b)c+c^2]+3ab(a-b-c)$

$= (a-b-c)(a^2-2ab+b^2+ac-bc+c^2+3ab)$

$= (a-b-c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc)$

b) Ta có

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

$\Leftrightarrow \frac{ab+ac+bc}{abc}=0$

$\Leftrightarrow ab+ac+bc=0$

Đặt $ab=x; ac=y; bc=z$

Ta có

$x+y+z=0$

$\Leftrightarrow x+y=-z$

$\Leftrightarrow (x+y)^3=-z^3$

$\Leftrightarrow x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3$

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2$

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xy(-x-y)$

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz$

$\Leftrightarrow a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3=3a^2b^2c^2$

$M=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}$

$M=\frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{a^2b^2c^2}$

$M=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}$

$M=3$

Bài 2:

a) $x^8-2x^4+x^2-2x=0$

$\Leftrightarrow (x^8-2x^4+1)+(x^2-2x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x^4-1)^2+(x-1)^2=0$

$\Leftrightarrow x=1$

b) Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho $n^6+26^n=21^{2012}$

Ta thấy $21^{2012}$ có tận cùng là 1

$26^n$ có tận cùng là 6

$\Rightarrow n^6$ có tận cùng là 5

$\Rightarrow n=5k(k \in N)$

Phương trình tương đương

$15625k^6+11881376^k=194481^{503}$

Ta thấy $11881376^k$ có tận cùng là 76

$194481^{503}$ có tận cùng là 41

$\Rightarrow 15625k^6$ có tận cùng là 65 ( không thỏa mãn )

Vậy, không tồn tại số tự nhiên n để $n^6+26^n = 21^{2012}$

Bài 3:

Tổng quát

$\frac{a^3-1}{a^3+1}=\frac{(a-1)(a^2+a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{a-1}{a+1}.\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\frac{a-1}{a+1}.\frac{a^2+a+1}{(a-1)^2+(a-1)+1}$

$A=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}...\frac{2012^3-1}{2012^3+1}$

$A=\frac{1}{3}.\frac{2^2+2+1}{1^2+1+1}.\frac{2}{4}.\frac{3^2+3+1}{2^2+2+1}...\frac{2011}{2013}.\frac{2012^2+2012+1}{2011^2+2011+1}$

$A=\frac{1.2.3...2011}{3.4.5...2013}.\frac{(2^2+2+1)(3^3+3+1)...(2012^2+2012+1)}{(1^2+1+1)(2^2+2+1)...(2011^2+2011+1)}$

$A=\frac{1}{2025078}.\frac{2012^2+2012+1}{1^2+1+1}$

$A=\frac{1}{2025078}.\frac{4050157}{3}$

$A=\frac{4050157}{6075234}$ ( ặc sai hay sao mà lẻ nhưng mà tổng quát đúng rùi đó )

Bài 4:

Ta có

$(a-b)^2 \geq 0 \forall a;b$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$

$\Leftrightarrow (a+b)^2 \geq 4ab$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{4} \geq ab$

Áp dụng

$A=\frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$

$A \geq \frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}.cde}$

$A \geq \frac{4(a+b+c+d)(a+b+c)}{(a+b)cde}$

$A \geq \frac{4(a+b+c+d)(a+b+c)}{\frac{(a+b+c)^2}{4}.de}$

$A \geq \frac{16(a+b+c+d)}{(a+b+c)de}$

$A \geq \frac{16(a+b+c+d)}{\frac{(a+b+c+d)^2}{4}.e}$

$A \geq \frac{64}{(a+b+c+d)e}$

$A \geq \frac{64}{\frac{(a+b+c+d+e)^2}{4}}$

$A \geq \frac{256}{(a+b+c+d+e)^2}$

$A \geq \frac{256}{16}=16$

Vậy, $min A = 16 \Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}; c=\frac{1}{2}; d=1; e=2$

 

[meomiutiunghiu]

Cậu tham khảo ở đây nè
" ht tp : / / gia o an.v i ol et. vn/present/same/entry_id/7471499"
P/s : Đề thi này giống đề thi ở Hn những năm trước thế

 

[nguyenphuongthao28598]

Bài 3 ra 1 chứ bạn ơi tinh nhầm rùi xem lại nha............................................................

 

[changruabecon]

Tiếp

Bạn nào làm được bài hình chứ nhỉ???????????? Cảm ơn các bạn đã làm bài thi này!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Nhân tiện các bạn cho hỏi có phần mềm nào Vẽ hình học không? Chỉ cho mình với, Tks

 

[khanhhotboy98]

http://www.mediafire.com/?0gcym0ngunz/ vô link này rồi down về( nhớ là phải cài pm java trước đó)
Giải nén file rồi chạy setup. khi dùng thì vô options rồi chọn mục languages rồi chọn tiếng việt cho dễ dùng nhé

 

[hamanhhuu]

còn mấy bài kia sao các bạn ko giải nốt cho mọi người thông tỏ

 

[changruabecon]

Trả lời

còn mấy bài kia sao các bạn ko giải nốt cho mọi người thông tỏ

Còn mỗi bài hình nữa thôi bạn à. Các bạn ấy làm hết rồi mà

 

[hamanhhuu]

cái bài chứng minh ko có số nào hơi dài
các bạn xem nha
ta thấy 21^2012 chia hết cho 3 còn 26^n :3 dư 1 , n^6 chia 3 có số dư là o hoặc 1
suy ra ko có số nào thoả mãn
vậy thôi

 

[tuan_chelsea_98]

Bài 1:

a) $a^3-b^3-c^3-3abc$

$= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3-c^3-3abc+3a^2b-3ab^2$

$= (a-b)^3-c^3-3abc+3ab(a-b)$

$= (a-b-c)[(a-b)^2+(a-b)c+c^2]+3ab(a-b-c)$

$= (a-b-c)(a^2-2ab+b^2+ac-bc+c^2+3ab)$

$= (a-b-c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc)$

b) Ta có

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

$\Leftrightarrow \frac{ab+ac+bc}{abc}=0$

$\Leftrightarrow ab+ac+bc=0$

Đặt $ab=x; ac=y; bc=z$

Ta có

$x+y+z=0$

$\Leftrightarrow x+y=-z$

$\Leftrightarrow (x+y)^3=-z^3$

$\Leftrightarrow x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3$

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2$

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xy(-x-y)$

$\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz$

$\Leftrightarrow a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3=3a^2b^2c^2$

$M=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}+\frac{ab}{c^2}$

$M=\frac{a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3}{a^2b^2c^2}$

$M=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}$

$M=3$

Bài 2:

a) $x^8-2x^4+x^2-2x=0$

$\Leftrightarrow (x^8-2x^4+1)+(x^2-2x+1)=0$

$\Leftrightarrow (x^4-1)^2+(x-1)^2=0$

$\Leftrightarrow x=1$

b) Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho $n^6+26^n=21^{2012}$

Ta thấy $21^{2012}$ có tận cùng là 1

$26^n$ có tận cùng là 6

$\Rightarrow n^6$ có tận cùng là 5

$\Rightarrow n=5k(k \in N)$

Phương trình tương đương

$15625k^6+11881376^k=194481^{503}$

Ta thấy $11881376^k$ có tận cùng là 76

$194481^{503}$ có tận cùng là 41

$\Rightarrow 15625k^6$ có tận cùng là 65 ( không thỏa mãn )

Vậy, không tồn tại số tự nhiên n để $n^6+26^n = 21^{2012}$

Bài 3:

Tổng quát

$\frac{a^3-1}{a^3+1}=\frac{(a-1)(a^2+a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)}=\frac{a-1}{a+1}.\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}=\frac{a-1}{a+1}.\frac{a^2+a+1}{(a-1)^2+(a-1)+1}$

$A=\frac{2^3-1}{2^3+1}.\frac{3^3-1}{3^3+1}...\frac{2012^3-1}{2012^3+1}$

$A=\frac{1}{3}.\frac{2^2+2+1}{1^2+1+1}.\frac{2}{4}.\frac{3^2+3+1}{2^2+2+1}...\frac{2011}{2013}.\frac{2012^2+2012+1}{2011^2+2011+1}$

$A=\frac{1.2.3...2011}{3.4.5...2013}.\frac{(2^2+2+1)(3^3+3+1)...(2012^2+2012+1)}{(1^2+1+1)(2^2+2+1)...(2011^2+2011+1)}$

$A=\frac{1}{2025078}.\frac{2012^2+2012+1}{1^2+1+1}$

$A=\frac{1}{2025078}.\frac{4050157}{3}$

$A=\frac{4050157}{6075234}$ ( ặc sai hay sao mà lẻ nhưng mà tổng quát đúng rùi đó )

Bài 4:

Ta có

$(a-b)^2 \geq 0 \forall a;b$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2 \geq 0$

$\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$

$\Leftrightarrow (a+b)^2 \geq 4ab$

$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{4} \geq ab$

Áp dụng

$A=\frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{abcde}$

$A \geq \frac{(a+b+c+d)(a+b+c)(a+b)}{\frac{(a+b)^2}{4}.cde}$

$A \geq \frac{4(a+b+c+d)(a+b+c)}{(a+b)cde}$

$A \geq \frac{4(a+b+c+d)(a+b+c)}{\frac{(a+b+c)^2}{4}.de}$

$A \geq \frac{16(a+b+c+d)}{(a+b+c)de}$

$A \geq \frac{16(a+b+c+d)}{\frac{(a+b+c+d)^2}{4}.e}$

$A \geq \frac{64}{(a+b+c+d)e}$

$A \geq \frac{64}{\frac{(a+b+c+d+e)^2}{4}}$

$A \geq \frac{256}{(a+b+c+d+e)^2}$

$A \geq \frac{256}{16}=16$

Vậy, $min A = 16 \Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}; c=\frac{1}{2}; d=1; e=2$

Hình như bài 1a anh ghi sai đề phài là : a^3-b^3+c^3-3abc

 

[changruabecon]

Chú ý

Bài 1 các bạn chú ý nhé, đề bài của tớ là [TEX]a^3[/TEX]-[TEX]b^3[/TEX]+[TEX]c^3[/TEX]+3abc
Tớ nói thế kẻo mỗi bạn làm một kiểu

 

[vansang02121998]

$a^3-b^3+c^3+3abc$

$=(a-b)^3+c^3+3ab(a-b)+3abc$

$=(a-b+c)[(a-b)^2-c(a-b)+c^2]+3ab(a-b+c)$

$=(a-b+c)(a^2-2ab+b^2-ac+bc+c^2+3ab)$

$=(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ac)$

 

[thaiha_98]

Cho [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0[/TEX]. Tính [TEX]\frac{bc}{a^2} + \frac{ac}{b^2} + \frac{ab}{c^2}[/TEX]
Giải
Xét đẳng thức: Nếu x+y+z = 0 thì[TEX]x^3+y^3+z^3=3xyz[/TEX]
Thật vậy:
[TEX]x+y+z = 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x+y = -z[/TEX]
\Rightarrow [TEX](x+y)^3 = (-z)^3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3+3x^2y+3xy^2=(-z)^3[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3+z^3 = -3x^2y-3xy^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]x^3+y^3+z^3 = 3xyz[/TEX]
Ta có
[TEX]\frac{bc}{a^2} + \frac{ac}{b^2} + \frac{ab}{c^2}[/TEX]
= [TEX]\frac{abc}{a^3} + \frac{abc}{b^3} + \frac{abc}{c^3} [/TEX]
= [TEX]abc(\frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3} [/TEX]
= [TEX]abc\frac{3}{abc}[/TEX]
= [TEX]3[/TEX]

b) Giả sử tồn tại số tự nhiên n sao cho $n^6+26^n=21^{2012}$

Ta thấy $21^{2012}$ có tận cùng là 1

$26^n$ có tận cùng là 6

$\Rightarrow n^6$ có tận cùng là 5

$\Rightarrow n=5k(k \in N)$

Phương trình tương đương

$15625k^6+11881376^k=194481^{503}$

Ta thấy $11881376^k$ có tận cùng là 76

$194481^{503}$ có tận cùng là 41

$\Rightarrow 15625k^6$ có tận cùng là 65 ( không thỏa mãn )

Vậy, không tồn tại số tự nhiên n để $n^6+26^n = 21^{2012}$

\
Phần này là kiểu gì hả bạn?
Cả 2 số : $n^6$ và $15625k^6$ đều có tận cùng là 5?
Bạn mod giải thích được không?

Bài 3:
A=[TEX]\frac{2,5^2+0,75}{3.(1,5^2+0,75)}[/TEX]X[TEX]\frac{2.(3,5^2+0,75)}{4.(2,5^2+0,75)}[/TEX]........[TEX]\frac{2011.(2012,5^2+0,75)}{2013.(2011,5^2+0,75)}[/TEX]
Tới đây tự rút gọn ta được đáp số

Bạn luuquangthuan ơi, cho tớ hỏi một chút
Sao bạn lại nghĩ ra số thập phân lẻ như thế?
Có quy luật gì chăng?
Bạn giải đáp hộ tớ với
P.s: Dù học Toán nhưng tớ kém lắm, mong các bạn thông cảm :-SS

Bạn nào làm được bài hình chứ nhỉ???????????? Cảm ơn các bạn đã làm bài thi này!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Nhân tiện các bạn cho hỏi có phần mềm nào Vẽ hình học không? Chỉ cho mình với, Tks

Bạn vào đây: http://www.mediafire.com/?yzjybnfjk5btdbb
Password: www.ctu.edu.vn
Hướng dẫn cài đặt : Tải bản phần mềm về máy tính >>> Giải nén >>> Mở file GSP5vit.exe >>>> Chọn vào : Đăng kí một giấy phép trên máy tính này >>> Mở file Key GSP 5.0.txt >>> Điền thông tin vào bảng chọn Đăng kí >>> Register >>> Xong.
P.s: Đây là phần mềm vẽ hình động rất hay đó

 

[hellangel98]

mọi người ơi!
ko ai làm dc câu hình ah?
câu hình a/thì chắc ai cũng cm AMDN là hình vuông dc rùi(chỉ ra có 3 góc vuông và tia phân giác là dc) nhưng còn chứng minh EF//BC và câu b,c thì tớ chịu:-/

 

[meomiutiunghiu]

Bạn nào làm được bài hình chứ nhỉ???????????? Cảm ơn các bạn đã làm bài thi này!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Nhân tiện các bạn cho hỏi có phần mềm nào Vẽ hình học không? Chỉ cho mình với, Tks

Bài hình nè , có trong đề thi này , 2 đề này giống nhau mà
Cậu coppy link này rồi xóa bỏ các chỗ cách là thấy
ht tp : / / gia o an.v i ol et. vn/present/same/entry_id/7471499