Đề thi chính thức chọn đội tuyển dự thi hsg tỉnh năm học 2013-2014 của huyện Thiệu Hóa

[congchuaanhsang]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:a, Giải hệ $x(x+y)+y^2=4x-1$ và $x(x+y)^2-2y^2=7x+2$

b, Tìm x,y $\in$ Z sao cho $3x^2+4y^2=6x+13$

Câu 2:a, Cho a là nghiệm dương của phương trình $x^4-7x^2+1=0$

Tính $P=a^3+\dfrac{1}{a^3}$

b, Cho $a=xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}$ $b=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}$

Cm |b|=$\sqrt{a^2-1}$

Câu 3:Xét đa thức f(x)=$ax^2-bx+c$ (a,b,c nguyên và a>0) sao cho f(x) có 2

nghiệm phân biệt thuộc (0;1). Tìm đa thức có a nhỏ nhất.

Câu 4:Cho tam giác ABC vuông ở A. I là trung điểm của BC, D thuộc BC. Đường

trung trực của AD cắt trung trực của AB và AC ở E và F.

a, Cm A,E,I,D,F thuộc 1 đường tròn

b, Cm AE.AC=AF.AB

c, Cho AC=b; AB=c. Tìm min$S_{AEF}$

Câu 5:Cho a,b,c không âm thoả mãn $a+b+c=1006$

Cm $\sqrt{2012a+\dfrac{(b-c)^2}{2}} + \sqrt{2012b+\dfrac{(c-a)^2}{2}} + \sqrt{2012c + \dfrac{(a-b)^2}{2}}$ \leq $2012\sqrt{2}$

Câu 6:Trong các hbh ngoại tiếp (O;r), tìm hbh có S nhỏ nhất

 

[vuive_yeudoi]

Câu 5 :

Trước hết có
$$ 2a \left( a+b+c \right)+\frac{\left( b-c \right)^2}{2} - \left( a \sqrt{2} + \frac{b+c}{\sqrt{2}} \right)^2 =-2bc \le 0 $$
Như vậy
$$ \sqrt{ 2012 a + \frac{\left( b-c \right)^2}{2} } \le a \sqrt{2} + \frac{b+c}{\sqrt{2}} $$
Tương tự cho hai biểu thức còn lại , suy ra
$$ \sqrt{ 2012 a + \frac{\left( b-c \right)^2}{2} } + \sqrt{ 2012 b + \frac{\left( c-a \right)^2}{2} } + \sqrt{ 2012 c + \frac{\left( a-b \right)^2}{2} } \le 2 \sqrt{2} \left( a+b+c \right)=2012 \sqrt{2} $$

 

[braga]

Xơi tạm câu hệ nhé!!!
$$2.PT(1)+PT(2): \ \ x(x+y)^2+2x(x+y)=15x \iff (x+y)^2+2(x+y)-15=0 \ ( x\neq 0) $$

 

[braga]

Bài nghiệm nguyên:
Viết phương trình dưới dạng: $3(x-1)^2+4y^2=16$
$3(x-1)^2\ge 0\implies 4y^2\le 16\iff y^2\le 4$

 

[eye_smile]

2a,Ta có:
${a^2}-1={(xy+\sqrt{({x^2}+1)({y^2}+1)})^2}-1$
$={(xy)^2}+(1+{x^2})(1+{y^2})+2xy\sqrt{(1+{x^2})(1+{y^2})}-1$
$={(xy)^2}+1+{x^2}+{y^2}+{(xy)^2}+2xy\sqrt{(1+{x^2})(1+{y^2})}-1$
$=2{(xy)^2}+{x^2}+{y^2}+2xy\sqrt{(1+{x^2})(1+{y^2})}$
${b^2}={(x\sqrt{1+{y^2}}+y\sqrt{1+{x^2}})^2}$
$={x^2}(1+{y^2})+{y^2}(1+{x^2})+2xy\sqrt{(1+{x^2})(1+{y^2})}$
$={x^2}+2{(xy)^2}+{y^2}+2xy\sqrt{(1+{x^2})(1+{y^2})}$
\Rightarrow đpcm

 

[benvip1999pro]

2B.
Ta lấy [TEX]a^2-1[/TEX] = [TEX]b^2[/TEX] . ( các bạn tự nhân chia )
=>[TEX]\sqrt{a^2-1}[/TEX]= trị tuyệt đối b.
K dùng quá 5 icon/ bài viết

 

[congchuaanhsang]

Câu đa thức. Mình làm theo công thức nghiệm nhưng có 1 chỗ là mò nhờ vào máy tính
Cô bảo là dựa vào định lí Bezou. Các bạn làm thử đi

 

[duchieu300699]

2a)
$x^4-7x^2+1=0$ \Leftrightarrow $a^4-7a^2+1=0$
* Đặt $t=a^2$. ĐK t>0(do a dương)
\Rightarrow $t^2-7t+1=0$\Rightarrow $a^2=t=\frac{7+3\sqrt[]{5}}{2}$ hoặc $a^2=t=\frac{7-3\sqrt[]{5}}{2}$
Cả 2 TH đều thoả mãn.

* Ta tính $a^2+\frac{1}{a^2}$ trong cả 2 TH đều đc kết quả là 7.
\Rightarrow $(a+\frac{1}{a})^2=a^2+\frac{1}{a^2}+2=9$
\Rightarrow $a+\frac{1}{a}=3$

*Ta CM được đẳng thức phụ $a^3+\frac{1}{a^3}=(a+\frac{1}{a})(a^2+\frac{1}{a^2})-(a+\frac{1}{a})=3.7-3=18$

 

[benvip1999pro]

Câu 4 .
A.
Gọi X là trung điểm của AB .
Y là trung điểm của AD .
Z là trung điểm của AC .
Ta có : Tứ giác AYZF nội tiếp => $\widehat {YFA} = \widehat {YZA} $ ( cùng nhìn AY ) (1)
Tứ giác XEYA nội tiếp => $\widehat {AEY} = \widehat {AXY} $ ( cùng nhìn AY ) (2)
từ (1) và (2) => $\widehat {YFA} + \widehat {AEY} $ = $\widehat {AXZ} + \widehat {XZA} $ =90 => $\widehat {EAF} = 90 $.
Ta có tam giác EAF = tam giác EDF ( ccc ( áp đụng đường trung trực của AD))
=> $\widehat {EDF}=\widehat {EAF} =90^o$
Xét tứ giác AEDF có : $\widehat {EDF}+\widehat {EAF} =90^o+90^0=180^0 $ .
=> tứ giác AEDF nội tiếp. (*)
Xét tứ giác AXEY nội tiếp => $\widehat {YEI} = \widehat {XAY}$ ( cùng bù với $\widehat {XEY}$ (3)
Tứ giác AYZF nội tiếp => $\widehat {YFZ} = \widehat {ZAY} $ ( cùng nhìn YZ ) (4)
từ (3) và (4) => $\widehat {IEF} + \widehat {IFE} $ = $\widehat {XAY} + \widehat {YAZ} $ =90 => $\widehat {EIF} = 90 $
Xét tứ giác AEIF có : $ \widehat {EIF}+\widehat {EAF} = 90^o+90^0=180^0 $ .
=> tứ giác AEIF nội tiếp. (**)
Từ (*) và (**) nên A,E,I,D,F cùng thuộc một đường tròn .

Haizzz. đánh mõi cả cái tay .

 

[benvip1999pro]

4.B
Gọi Giao của YF và AC là H :
Tứ giác AIDF nội tiếp nên : $\widehat {IFA} = \widehat {IDA} $ ( cùng nhìn IA) (1)
Tứ giác AYZF nội tiếp nên: $\widehat {YFZ} = \widehat {YAZ} $ ( cùng nhìn YZ ) (2)
ta có HY là đường trung trực của AD nên $\widehat {HDA} =\widehat {HAD} $ (3)
Từ (2) và (3) => $\widehat {ZFY} = \widehat {HDY} $ (4)
Mà ZF là đường trung trực của AC => $\widehat {AFZ} =\widehat {CFZ} $
Từ (1) (2) và (4) => $\widehat {CFZ} +\widehat {ZFY} =\widehat {IDA} + \widehat {ZDY} $
hay $\widehat {HFC} = \widehat {HDI} $ => tứ giác FHDC nội tiếp .
=> $\widehat {BCA} =\widehat {DFH} $ (5)
Ta lại có YF là đường trung trực của AD => $\widehat {DFY} = \widehat {YFA} $ (6)
Từ (5) và (6) => $\widehat {BCA} = \widehat {EFA} $
Xét tam giác AEF và tam giác BAC có :
$\widehat {BCA} = \widehat {EFA} $
$\widehat {EAF} = \widehat {BAC}=90^o $
=> tam giác AEF đồng dạng với tam giác BAC
=> $\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC} $ => AE.AC=AF.AB.

Haizzz. Xong .

 

[benvip1999pro]

4.Ăn luôn câu C.
Ta thấy $ S_{AEF} $ Min khi AD là đường cao của tam giác ABC .
Khi đó :
E là trung điểm của AB ( YE là đường trung bình của tam gíac ABD )
F là trung điểm của AC ( YF là đường trung bình của tam giác ADC )
=> AE = $\frac{1}{2}AB $
AF = $\frac{1}{2}AC $
=> $ S_{AEF} $ Min = $\frac{1}{2}$AE.AF =$\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}AB $.$\frac{1}{2}AC $ =$\frac{1}{8}$ab
Xong.

 

[benvip1999pro]

4.C
ta thấy $S_{AEF}$ min khi AD là đường cao của tam ABC .Khi đó :
E là trung điểm của AB ( YE là đường trung bình của tam giác ABD )
F là trung điểm của AC ( YF là đường trung bình của tam giác ACD )
=> $S_{AEF} =\frac{1}{2}AE.AF=\frac{1}{2}\frac{1}{2}AB\frac{1}{2}AC=\frac{1}{8}bc $
Vậy $S_{AEF}=\frac{1}{8}bc$
Mình đánh bài gửi hôm qua , hôm nay lên lại k thấy nên làm đăng lên lại.

 

[zezo_flyer]

Câu 4 .
A.
Gọi X là trung điểm của AB .
Y là trung điểm của AD .
Z là trung điểm của AC .
Ta có : Tứ giác AYZF nội tiếp => $\widehat {YFA} = \widehat {YZA} $ ( cùng nhìn AY ) (1)
Tứ giác XEYA nội tiếp => $\widehat {AEY} = \widehat {AXY} $ ( cùng nhìn AY ) (2)
từ (1) và (2) => $\widehat {YFA} + \widehat {AEY} $ = $\widehat {AXZ} + \widehat {XZA} $ =90 => $\widehat {EAF} = 90 $.
Ta có tam giác EAF = tam giác EDF ( ccc ( áp đụng đường trung trực của AD))
=> $\widehat {EDF}=\widehat {EAF} =90^o$
Xét tứ giác AEDF có : $\widehat {EDF}+\widehat {EAF} =90^o+90^0=180^0 $ .
=> tứ giác AEDF nội tiếp. (*)
Xét tứ giác AXEY nội tiếp => $\widehat {YEI} = \widehat {XAY}$ ( cùng bù với $\widehat {XEY}$ (3)
Tứ giác AYZF nội tiếp => $\widehat {YFZ} = \widehat {ZAY} $ ( cùng nhìn YZ ) (4)
từ (3) và (4) => $\widehat {IEF} + \widehat {IFE} $ = $\widehat {XAY} + \widehat {YAZ} $ =90 => $\widehat {EIF} = 90 $
Xét tứ giác AEIF có : $ \widehat {EIF}+\widehat {EAF} = 90^o+90^0=180^0 $ .
=> tứ giác AEIF nội tiếp. (**)
Từ (*) và (**) nên A,E,I,D,F cùng thuộc một đường tròn .

Haizzz. đánh mõi cả cái tay .

tớ nghĩ lấy K là trung điểm của EF rồi chứng minh các điểm cách đều ( toàn tam giác vuông với đường trung trực mỉ ) thế dễ hơn.

 

[hien_vuthithanh]

Câu 5:Cho a,b,c không âm thoả mãn $a+b+c=1006$

Cm $\sqrt{2012a+\dfrac{(b-c)^2}{2}} + \sqrt{2012b+\dfrac{(c-a)^2}{2}} + \sqrt{2012c + \dfrac{(a-b)^2}{2}}$ \leq $2012\sqrt{2}$

Cách khác :

$\sqrt{2012a+\dfrac{(b-c)^2}{2}}= \sqrt{2012a+\dfrac{(b+c)^2}{2}-2bc}\le \sqrt{2012a+\dfrac{(b+c)^2}{2}}$ (vì $bc\ge 0)$

\Rightarrow $\sqrt{2012a+\dfrac{(b-c)^2}{2}}\le \sqrt{2012a+\dfrac{(1006-a)^2}{2}}= \sqrt{\dfrac{(1006+a)^2}{2}}=\dfrac{1006+a}{\sqrt{2}}$

TT \Rightarrow $\sum \sqrt{2012a+\dfrac{(b-c)^2}{2}} \le \sum\dfrac{1006+a}{\sqrt{2}}=2012\sqrt{2}$