[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Bài I (4,0 điểm).
1) Tính giá trị của biểu thức: [imath]S=\sqrt{1+\left(1+\dfrac{1}{3}\right)^2}+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)^2}+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)^2}+...+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{2022}+\dfrac{1}{2023}\right)^2}[/imath].
2) Giải phương trình: [imath]x\left(x^2-6x-12\right)=8[/imath].
Bài II (5,5 điểm).
1) Giả sử [imath]a_1, a_2, a_3, ..., a_n[/imath] là các chữ số của [imath]2022^{2023}[/imath]. Chứng minh rằng [imath]a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_{n}^3[/imath] chia hết cho 3.
2) Tìm các số nguyên dương [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) [imath]\dfrac{a-b\sqrt{2022}}{b-c\sqrt{2022}}[/imath] là một số hữu tỷ.
ii) [imath]a^2+b^2+c^2[/imath] là một số nguyên tố.
3) Cho số nguyên dương [imath]n[/imath] và số nguyên dương [imath]m[/imath] là một ước của [imath]2n^2[/imath]. Chứng minh rằng [math]n^2+m[/math] không thể là một số chính phương.
Bài III (3,5 điểm).
1) Chứng minh rằng: [imath]\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(xy+x+y\right)[/imath] [imath]\forall x,y[/imath].
2) Cho các số thực dương [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn [imath]3ab-a-b=abc[/imath]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]P=\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\dfrac{a}{ca+c+1}}[/imath].
Bài IV (5,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D trên AB, điểm E trên AC sao cho AD = AE. Qua điểm A và điểm D kẻ các đường thẳng a, b theo thứ tự vuông góc với BE. Gọi giao điểm của a, b lần lượt với BC là M, N. Kéo dài DN cắt CA tại điểm P. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại H. Gọi điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AH.
a) Chứng minh rằng MN = MC.
b) Chứng minh rằng BO vuông góc với HP.
2) Cho hình thang cân MNPQ có MN song song với PQ, MN là đáy nhỏ. Góc nhọn tạo bởi hai đường chéo MP, NQ có số đo góc bằng [imath]60^o[/imath]. Gọi X, Y lần lượt là hình chiếu của N, P trên MP, NQ. Gọi Z là trung điểm của đoạn thẳng NP. Chứng minh rằng tam giác XYZ là tam giác đều.
Bài V (2,0 điểm).
1) Tìm tất cả các số nguyên dương [imath]x,y,z[/imath] thỏa mãn [imath]3^x+2^y=1+2^z[/imath].
2) Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng [imath]\dfrac{2}{3}[/imath]. Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm.
1) Tính giá trị của biểu thức: [imath]S=\sqrt{1+\left(1+\dfrac{1}{3}\right)^2}+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)^2}+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\right)^2}+...+\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{2022}+\dfrac{1}{2023}\right)^2}[/imath].
2) Giải phương trình: [imath]x\left(x^2-6x-12\right)=8[/imath].
Bài II (5,5 điểm).
1) Giả sử [imath]a_1, a_2, a_3, ..., a_n[/imath] là các chữ số của [imath]2022^{2023}[/imath]. Chứng minh rằng [imath]a_1^3+a_2^3+a_3^3+...+a_{n}^3[/imath] chia hết cho 3.
2) Tìm các số nguyên dương [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) [imath]\dfrac{a-b\sqrt{2022}}{b-c\sqrt{2022}}[/imath] là một số hữu tỷ.
ii) [imath]a^2+b^2+c^2[/imath] là một số nguyên tố.
3) Cho số nguyên dương [imath]n[/imath] và số nguyên dương [imath]m[/imath] là một ước của [imath]2n^2[/imath]. Chứng minh rằng [math]n^2+m[/math] không thể là một số chính phương.
Bài III (3,5 điểm).
1) Chứng minh rằng: [imath]\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(xy+x+y\right)[/imath] [imath]\forall x,y[/imath].
2) Cho các số thực dương [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn [imath]3ab-a-b=abc[/imath]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức [imath]P=\sqrt{\dfrac{ab}{a+b+1}}+\sqrt{\dfrac{b}{bc+c+1}}+\sqrt{\dfrac{a}{ca+c+1}}[/imath].
Bài IV (5,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm D trên AB, điểm E trên AC sao cho AD = AE. Qua điểm A và điểm D kẻ các đường thẳng a, b theo thứ tự vuông góc với BE. Gọi giao điểm của a, b lần lượt với BC là M, N. Kéo dài DN cắt CA tại điểm P. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại H. Gọi điểm O là trung điểm của đoạn thẳng AH.
a) Chứng minh rằng MN = MC.
b) Chứng minh rằng BO vuông góc với HP.
2) Cho hình thang cân MNPQ có MN song song với PQ, MN là đáy nhỏ. Góc nhọn tạo bởi hai đường chéo MP, NQ có số đo góc bằng [imath]60^o[/imath]. Gọi X, Y lần lượt là hình chiếu của N, P trên MP, NQ. Gọi Z là trung điểm của đoạn thẳng NP. Chứng minh rằng tam giác XYZ là tam giác đều.
Bài V (2,0 điểm).
1) Tìm tất cả các số nguyên dương [imath]x,y,z[/imath] thỏa mãn [imath]3^x+2^y=1+2^z[/imath].
2) Cho hình vuông ABCD và 9 đường thẳng cùng có tính chất là mỗi đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng [imath]\dfrac{2}{3}[/imath]. Chứng minh rằng có ít nhất 3 đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm.
_ Hết _
