Đề kiểm tra HSG(4)

[huradeli]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,
Cho hệ phương trình:
ax+by=c
và bx+cy=a
và cx+ay=b
(a,b,c là tham số)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: $a^3+b^3+c^3=3abc$
2,
Cho x>0,y>0 và x+y=1. CMR: $8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}$\geq5
3,
Giải hệ phương trình:
$x^2+\frac{1}{y^2}+\frac{x}{y}=3$
và $x+\frac{1}{y}+\frac{x}{y}=3$
4, Giải phương trình: $\sqrt{25-x^2}-\sqrt{10-x^2}=3$

 

[nguyenbahiep1]

4, Giải phương trình: $\sqrt{25-x^2}-\sqrt{10-x^2}=3$

[laTEX]\begin{cases}a-b = 3 \\ a^2-b^2 = 15 \end{cases} \\ \\ a = 3+b \Rightarrow (3+b)^2-b^2 = 15 \\ \\ \Rightarrow b = 1 \Rightarrow 10-x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 3[/laTEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:

$(x+\dfrac{1}{y};\dfrac{x}{y}) \to (a;b)$

$\begin{cases}
a^2-b=3\\
a+b=3\\
\end{cases}$

$\leftrightarrow a^2+a-6=0$

Tự giải tiếp.

Bài 4:

$(\sqrt{25-x^2}; \sqrt{10-x^2})\to (u;v)$

$u^2-v^2=15$ và $u-v=3$

Suy ra $u+v=5$

Toán tổng hiệu.

 

[nguyenbahiep1]

2,
Cho x>0,y>0 và x+y=1. CMR: $8(x^4+y^4)+\frac{1}{xy}$\geq5

[laTEX]8x^4 + \frac{1}{2} +\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \geq 4.x \\ \\ 8y^4 + \frac{1}{2} +\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \geq 4.y \\ \\ \frac{1}{xy} \geq \frac{4}{(x+y)^2}= 4 \\ \\ \Rightarrow 8(x^4+y^4) + \frac{1}{xy}+3 \geq 4(x+y) + 4 = 8 \\ \\ \Rightarrow 8(x^4+y^4) + \frac{1}{xy} \geq 5 \\ \\ x = y = \frac{1}{2}[/laTEX]

 

[kobato_2509]

$(x^2 - y^2)^2 $ \geq 0
\Rightarrow $\ x^4 + y^4 - 2x^2y^2 $ \geq 0
\Rightarrow $\ x^4 + y^4 > \ 2x^4y^4 $ \geq0

Lại có: $(x - y)^2 $ \geq 0

\Rightarrow $x^2 + y^2 $ \geq 2xy
\Rightarrow $2(x^2 + y^2)$ \geq $(x+y)^2 = 1^2 =1$
\Rightarrow $(x^2 + y^2)$ \geq $\frac {1}{2}$
\Rightarrow $ 2(x^4 - y^4) $\geq $x^2 + y^2)$ \geq $\frac{1}{2}$
\Rightarrow $8(x^4 - y^4)$ \geq1 (1)

Mà $(x - y)^2 $\geq0
\Rightarrow $ x^2 + y^2 $\geq $2xy$
\Rightarrow $(x + y)^2$ \geq $4xy$
\Rightarrow $1$ \geq $4xy$
\Rightarrow $\frac{1}{xy}$ \geq $4 $ (2)
$\xrightarrow{{(1), (2)}}8(x^4 - y^4) + \frac{1}{xy}$ \geq $1+4 =5$
________________________________________________________

 

[kisihoangtoc]

1

Điều kiện cần:
$a^3+b^3+c^3$
$=(bx+cy)a^2+(cx+ay)b^2+(ax+by)c^2$
$=(a^2bx+a^2cy)+(b^2cx+b^2ay)+(c^2ax+c^2by)$
$=ab(ax+by)+ca(cx+ay)+bc(bx+cy)=3abc$
Điều kiện đủ:
Giả sử $a^3+b^3+c^3=3abc$
\Leftrightarrow $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$ (cái này bạn chịu khó phân tích 1 chút)
\Leftrightarrow $\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0$
Xét hai trường hợp:
Nếu $a+b+c=0$, ta thấy thì hệ phương trình có nghiệm $x=y=-1$
Nếu $a=b=c$, ta thấy hệ phương trình có nghiệm $(0;1);(1;0)$
\Rightarrow đpcm

 

[huradeli]

$\frac{1}{xy}$ \geq $\frac{4}{(x+y)^2}= 4$
cái chỗ này sao lại thế được hả bạn****************************?????

 

[eye_smile]

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y}$


\Leftrightarrow $\dfrac{x+y}{xy} \ge \dfrac{4}{x+y}$

\Leftrightarrow $\dfrac{1}{xy} \ge \dfrac{4}{(x+y)^2}$