đề kiểm tra chất lượng HSG

[embecuao]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

PHẦN ĐẠI SỐ
1. Tìm các số x,y,z biết:
[TEX] x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz +zx [/TEX]
và [TEX]x^2013 + y^2013 + z^2013 = 3^2014[/TEX]
2. Chứng minh rằng:
Nếu a,b,c là các số dương thoả mãn: [TEX] \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq a + b +c [/TEX] thì ta có bất đẳng thức [TEX] a+b+c \geq 3abc [/TEX]
3. Cho 6a-5b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX] 4a^2 + 25b^2 [/TEX]

PHẦN HÌNH HỌC
4. Cho tam giác ABC cân ở A, Dlaf trung điểm của cạnh BC. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc MDN bằng góc ABC. Chứng minh: [TEX] MD^2 = MN.MB [/TEX]
5. Cho tam giác ABC trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Một đường thẳng qua G cắt các cạnh AB,AC lần lượt ở M và N. CM: [TEX] \frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} [/TEX] = 3
6. Cho tam giác vuông cân ABC, AB=AC. M là trung điểm của AC, trên BM lấy điểm N sao cho NM=MA. CN cắt AB tại E. CM:
a, tam giác BNE đồng dạng với tam giác BAN
b, [TEX] \frac{NC}{AN} = \frac{NB}{AB} + 1 [/TEX]

 

[harrypham]

1. [TEX]x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx \Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0[/TEX].
vậy [TEX]x=y=z[/TEX].
Mà [TEX]x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014}[/TEX] nên [TEX]xy=yz=3[/TEX].
5. Xem tại đây.

 

[eye_smile]

3.Ta có: $6a - 5b = 1 \to 5b = 6a - 1$
$4{a^2} + 25{b^2} = 4{a^2} + {\left( {6a - 1} \right)^2} = 40{a^2} - 12a + 1 = 40\left( {{a^2} - 2a.\dfrac{3}{{20}} + \dfrac{9}{{400}}} \right) + \dfrac{{391}}{{10}} = 40{\left( {a - \dfrac{3}{{20}}} \right)^2} + \dfrac{{391}}{{10}} \ge \dfrac{{391}}{{10}}$

 

[embecuao]

1. [TEX]x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx \Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0[/TEX].
vậy [TEX]x=y=z[/TEX].
Mà [TEX]x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014}[/TEX] nên [TEX]xy=yz=3[/TEX].

bạn nói rõ hơn chỗ: "Mà [TEX]x^{2013}+y^{2013}+z^{2013}=3^{2014}[/TEX] nên [TEX]xy=yz=3[/TEX] " được không, đầu óc mình kém thông minh lắm nên không hiểu mấy

 

[eye_smile]

Cm $x=y=z$
Có: ${x^{2013}} + {y^{2013}} + {z^{2013}} = {3^{2014}}$
$ \to 3{x^{2013}} = 3{y^{2013}} = 3{z^{2013}} = {3^{2014}}$
$ \to {x^{2013}} = {y^{2013}} = {z^{2013}} = {3^{2013}}$
$ \to x = y = z = 3$

 

[lan_phuong_000]

Chúng ta sẽ có một hệ như thế này
$\left\{\begin{matrix}x=y=z\\ x^{2013} + y^{2013} + z^{2013} = 3^{2014}\end{matrix}\right.$
\Rightarrow $x^{2013} + x^{2013} + x^{2013} = 3^{2014}$
\Leftrightarrow $ 3.x^{2013} = 3^{2014}$
\Leftrightarrow $x=y=z=3$
Ok

 

[harrypham]

4. Ta có [TEX]\widehat{MDB}+ \widehat{NDC}=180^{\circ}- \widehat{MDN}[/TEX].
Mà [TEX]180^{\circ}-\widehat{MDN}= 180^{\circ}- \widehat{ABC}= \widehat{MDB}+ \widehat{BMD}[/TEX].
Ta suy ra [TEX]\widehat{BMD}= \widehat{NDC} \Rightarrow \triangle BMD \sim \triangle CDN \; ( \text{g.g})[/TEX]. Do đó [TEX]\frac{MD}{DN}= \frac{MB}{CD} \qquad (1)[/TEX].
Vì [TEX]D[/TEX] trung điểm [TEX]BC[/TEX] nên [TEX]CD=BD[/TEX], do đó [TEX](1) \Rightarrow \frac{MD}{DN}= \frac{MB}{BD} \Rightarrow \triangle MBD \sim \triangle MDN \; ( \text{c.g.c}) \Rightarrow \frac{BM}{MD}= \frac{MD}{MN} \Rightarrow MD^2=MN \cdot BM[/TEX].

 

[soicon_boy_9x]

Bài 2:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \geq a+b+c$

$\leftrightarrow \dfrac{ab+bc+ca}{abc} \geq a+b+c$

$\leftrightarrow ab+bc+ca \geq (a+b+c)abc$

Lại có $ab+bc+ca \leq \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

$\leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{3} \geq (a+b+c)abc$

$\leftrightarrow a+b+c \geq 3abc(dpcm)$

Dấu $"="$ xảy ra khi $\dfrac{3}{a}=3a \rightarrow 3a^2=3 \rightarrow
a=b=c=1$

 

[embecuao]

Gợi ý bài 6 phần b: Các bạn dựng thêm hình chữ nhật ANCD để chứng minh