đề hsg

[huradeli]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho 4 số x,y,z,t thỏa mãn: $(x+y)(z+t)+xy+88=0$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=x^2+9y^2+6z^2+24t^2$
2,Giải phương trình:$\sqrt[3]{x^2+26}+3\sqrt{x}+\sqrt{x+3} =8$
3,a,tìm mọi cặp số nguyên dương (x;y) sao cho $\frac{x^4+2}{x^2y+1}$ là số nguyên dương
b,cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn: $xyz\ge x+y+z+2$. tìm giá trị lớn nhất của: x+y+z
4, Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2y^2-x^2-8y^2=2xy$
5,Giả sử x,y là các số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: $x+y=\sqrt{10}$.
Tìm giá trị của x và y để biểu thức: $P=(x^4+1)(y^4+1)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
6,Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^3+y^3+6xy=21$

 

[nhuquynhdat]

Bài 6

$x^3+y^3+6xy=21$

$\leftrightarrow (x+y)^3-3xy(x+y)+6xy=21$

Đặt $x+y=a; xy=b; a,b \in Z$

$ \Longrightarrow a^3-3ab+6b=21$

$\leftrightarrow a^3-21=3b(a-2)$

Nếu $a=2$ thì $-8-21=0$ (vô lí)

Nếu $a \ne 2$ thì $\dfrac{a^3-21}{a-2}=3b$

$\Longrightarrow \dfrac{a^3-21}{a-2} \in Z $

$\leftrightarrow a^2+2a+4-\dfrac{13}{a-2} \in Z \Longrightarrow (a-2) \in Ư(13)$
Làm tiếp

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6:

$x^3+y^2+6xy=(x+y)^3-8-3xy(x+y-2)+8=(x+y-2)(x^2+2xy+y^2+2x+2y+4)-3xy(x+y-2)+8=(x+y-2)(x^2+y^2-xy+2x+2y+4)+8$

$\leftrightarrow (x+y-2)(x^2+y^2-xy+2x+2y+4)=13$

Bài 5: Đề là 2 số dương chứ, sao là 2 số nguyên dương được =))

$P=(x^4+1)(y^4+1)=(xy)^4+x^4+y^4+1$

$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$

$x^2+y^2=10-2xy$

Đặt $t=xy \le \dfrac{(x+y)^2}{4}=\dfrac{5}{2} \to x^4+y^4=(10-2t)^2-2t^2=2t^2-40t+100$

$P=t^4+2t^2-40t+101=x^4-8x^2+16+10x^2-40x+40+45=(x^2-4)^2+10(x-2)^2+45 \ge 45$

$\text{min P}=45 \leftrightarrow \begin{cases}
x+y=\sqrt{10}\\
xy=2\\
\end{cases}$

Bạn tự giải tiếp.

 

[vipboycodon]

2, $\sqrt[3]{x^2+26}+3\sqrt{x}+\sqrt{x+3} = 8$
Đk: $x \ge 0$
PT <=> $\sqrt[3]{x^2+26}-3+3\sqrt{x}-3+\sqrt{x+3}-2 = 0$
<=> $\dfrac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^2+26)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+\dfrac{3(x-1)}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2} = 0$
<=> $(x-1)(\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{(x^2+26)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}) = 0$
<=> $x = 1$ (vì $\dfrac{x+1}{\sqrt[3]{(x^2+26)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}+\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2} > 0$)

 

[casidainganha]

Cho em hỏi bài 2 giải phương pháp gì vậy anh? Với lại từ dòng suy ra đầu tiên làm thế nào ra được thế?
@-)

 

[vipboycodon]

Đó là phương pháp nhân lượng liên hợp , em có thể tìm hiểu trên mạng...............................
$\sqrt[3]{x^2+26}-3 = \dfrac{(\sqrt[3]{x^2+26}-3)(\sqrt[3]{(x^2+26)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9)}{\sqrt[3]{(x^2+26)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}$
= $\dfrac{\sqrt[3]{(x^2+26)^3}-27}{\sqrt[3]{(x^2+26)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}$
= $\dfrac{x^2-1}{\sqrt[3]{(x^2+26)^2}+3\sqrt[3]{x^2+26}+9}$

$3(\sqrt{x}-1) = \dfrac{3(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1} = \dfrac{3(x-1)}{\sqrt{x}+1}$

$\sqrt{x+3}-2 = \dfrac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{\sqrt{x+3}+2} = \dfrac{\sqrt{(x+3)^2}-4}{\sqrt{x+3}+2} = \dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}$