Đề HSG Đại số 7 THCS PHổ Hải (tiếp)

[welcome_yoyo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 2: Tính:
1+[tex]\frac{2}{2^2}[/tex]+[tex]\frac{3}{2^3}[/tex]+[tex]\frac{4}{2^4}[/tex]+...+[tex]\frac{100}{2^100}[/tex]
thông cảm, mình đánh không đúng lắm ^^

 

[hiensau99]

Lâu rồi chưa ai xơi nên mình đành xơi vậy )

Đặt:
$A= 1+ \frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+...+ \frac{100}{2^{100}}$

$\Longrightarrow 2A= 2+1+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+ \frac{100}{2^{99}} $

$\Longrightarrow 2A-A=( 2+1+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+ \frac{100}{2^{99}})-(1+ \frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+...+ \frac{100}{2^{100}}) $

$\Longrightarrow A=2+1+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+ \frac{100}{2^{99}}-1- \frac{2}{2^2}-\frac{3}{2^3}-\frac{4}{2^4}-...- \frac{100}{2^{100}} $

$\Longrightarrow A=2+1+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+ \frac{100}{2^{99}}-1- \frac{1}{2}-\frac{3}{2^3}-\frac{4}{2^4}-...- \frac{100}{2^{100}} $

$\Longrightarrow A=1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+ \frac{1}{2^{99}}- \frac{100}{2^{100}} $ (1)

Ta có:

$B= 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+ \frac{1}{2^{99}}$

$\Longrightarrow \frac{1}{2} B= \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+ \frac{1}{2^{100}} $

$\Longrightarrow B- \frac{1}{2} B= 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+ \frac{1}{2^{99}}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}-...- \frac{1}{2^{100}} $

$\Longrightarrow \frac{1}{2} B= 1- \frac{1}{2^{100}} $

$\Longrightarrow B= 2- \frac{1}{2^{99}} $

Thay vào (1) ta có:

$A=2- \frac{1}{2^{99}} - \frac{100}{2^{100}}$

$A=2- \frac{51}{2^{99}}$